Question

【題目】閱讀下列材料，解答下列問題：

材料一：一個三位以上的自然數(shù)，如果該自然數(shù)的末三位表示的數(shù)與末三位之前的數(shù)字表示的數(shù)之差是11的倍數(shù)，我們稱滿足此特征的數(shù)叫“網(wǎng)紅數(shù)”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，稱65362是“網(wǎng)紅數(shù)”．

材料二：對任的自然數(shù)p均可分解為P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均為整數(shù)）如：5278＝52×100+10×7+8，規(guī)定：G（P）＝．

（1）求證：任兩個“網(wǎng)紅數(shù)”之和一定能被11整除；

（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均為整數(shù)），當s+t為“網(wǎng)紅數(shù)”時，求G（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）39

【解析】

（1）設(shè)兩個“網(wǎng)紅數(shù)”為，，（n、b表示末三位表示的數(shù)，m、a表示末三位之前的數(shù)字），則n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可證明；

（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①當1≤a≤5時，s+t＝，則﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②當6≤a≤7時，s+t＝，則﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分別求出相應的G（t）值即可．

解：（1）設(shè)兩個“網(wǎng)紅數(shù)”為，，（n、b表示末三位表示的數(shù)，m、a表示末三位之前的數(shù)字），

∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，

∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），

∴m、a、k、h都是整數(shù)，

∴91m+91n+h+k為整數(shù)，

∴任兩個“網(wǎng)紅數(shù)”之和一定能被11整除；

（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，

∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，

①當1≤a≤5時，s+t＝，

則﹣（b+1）能被11整除，

∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，

∴2a﹣2b+1能被11整除，

∵1≤a≤5，0≤b≤5，

∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，

∴2a﹣2b+1＝0或11，

∴a＝5，b＝0，

∴t＝1642，G（1642）＝17.25；

②當6≤a≤7時，s+t＝，

則﹣（b+2）能被11整除，

∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，

∴2a﹣2b+1能被11整除，

∵6≤a≤7，0≤b≤5，

∴3≤2a﹣2b+1≤15，

∴2a﹣2b+1＝11，

∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，

∴t＝2742或3842，

∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，

∴G（t）的最大值39．