【題目】等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,∠BAC=∠DAE90°AB4AE2,其中△ABC固定,△ADE繞點A360°旋轉(zhuǎn),點F、M、N分別為線段BE、BCCD的中點,連接MN、NF

問題提出:(1)如圖1,當AD在線段AC上時,則∠MNF的度數(shù)為   ,線段MN和線段NF的數(shù)量關(guān)系為  

深入討論:(2)如圖2,當AD不在線段AC上時,請求出∠MNF的度數(shù)及線段MN和線段NF的數(shù)量關(guān)系;

拓展延伸:(3)如圖3,△ADE持續(xù)旋轉(zhuǎn)過程中,若CEBD交點為P,則△BCP面積的最小值為  

【答案】145°,NFMN;(2)∠MNF45°,NFMN;(34

【解析】

1)如圖1,連接DB,MF,CE,延長BDECH.證明△BAD≌△CAESAS),推出BDEC,∠ACE=∠ABD,再根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題.

2)如圖2,連接MF,EC,BD.設(shè)ECABO,BDECH.證明△BAD≌△CAESAS),推出BDEC,∠ACE=∠ABD,再利用三角形中位線定理即可解決問題.

3)如圖3中,如圖3中,如圖以A為圓心AD為半徑作⊙A.當直線PB與⊙A相切時,△BCP的面積最。

解:(1)如圖1中,連接DB,MF,CE,延長BDECH

ACAB,AEAD,∠BAD=∠CAE90°,

∴△BAD≌△CAESAS),

BDCE,∠ACE=∠ABD,

∵∠ABD+ADB90°,∠ADB=∠CDH,

∴∠CDH+DCH90°,

∴∠CHD90°,

ECBH,

BMMC,BFFE,

MFECMFEC,

CMMB,CNND,

MNBDMNBD,

MNMF,MNMF,

∴∠NMF90°,

∴∠MNF45°,NFMN

故答案為:45°;NFMN

2):如圖2中,連接MF,EC,BD.設(shè)ECABO,BDECH

ACAB,AEAD,∠BAC=∠DAE90°

∴∠BAD=∠CAE,

∴△BAD≌△CAESAS),

BDCE,∠ACE=∠ABD,

∵∠AOC+ACO90°,∠AOC=∠BOH,

∴∠OBH+BOH90°,

∴∠BHO90°,

ECBD,

BMMCBFFE,

MFEC,MFEC,

CMMBCNND,

MNBDMNBD,

MNMF,MNMF,

∴∠NMF90°,

∴∠MNF45°NFMN

3):如圖3中,如圖以A為圓心AD為半徑作⊙A

當直線PB與⊙A相切時,此時∠CBP的值最小,點PBC的距離最小,即△BCP的面積最小,

ADAE,ABAC,∠BAC=∠DAE90°

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAESAS),

∴∠ACE=∠ABD,BDEC,

∵∠ABD+AOB90°,∠AOB=∠CPO

∴∠CPB90°,

PB是⊙A的切線,

∴∠ADP90°

∵∠DPE=∠ADP=∠DAE90°,

∴四邊形ADPE是矩形,

AEAD

∴四邊形ADPE是正方形,

ADAEPDPE2,BDEC2,

PC22,PB2+2

SBCP的最小值×PC×PB22)(2+2)=4

練習冊系列答案
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③每天的冷藏費用為300元;

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