【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn).當(dāng)點D恰好落在AB邊上時,填空:
①線段DE與AC的位置關(guān)系是 ;
②設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)猜想論證:
當(dāng)△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC,CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
【答案】(1)DE∥AC;S1=S2;(2)證明見解析.
【解析】
試題(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行解答;
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用"角角邊"證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;
試題解析:
(1)①線段DE與AC的位置關(guān)系是 平行 .②S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 相等 .
證明:如圖2,過D作DN⊥AC交AC于點N,過E作EM⊥AC交AC延長線于M,過C作CF⊥AB交AB于點F.
由①可知△ADC是等邊三角形,DE∥AC,
∴DN=CF,DN=EM.
∴CF=EM.
∵∠ACB=90,∠B=30,
∴AB=2AC.
又∵AD=AC,
∴BD=AC.
∵S1=CF·BD,S2=AC·EM,
∴S1=S2.
證明:如圖3,作DG⊥BC于點G,AH⊥CE交EC延長線于點H.
∵∠DCE=∠ACB=90∴∠DCG+∠ACE=180.
又∵∠ACH+∠ACE=180,∴∠ACH=∠DCG.
又∵∠CHA=∠CGD=90,AC=CD,
∴△AHC≌△DGC.
∴AH=DG.
又∵CE=CB,
∴S1=S2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,以點為圓心,的長為半徑畫弧,與邊交于點,將 繞點旋轉(zhuǎn)后點與點恰好重合,則圖中陰影部分的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】長方形紙片中,,,把這張長方形紙片如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,在邊上取一點,將沿折疊,使點恰好落在邊上的點處.
(1)點的坐標(biāo)是____________________;點的坐標(biāo)是__________________________;
(2)在上找一點,使最小,求點的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點是直線上一個動點,設(shè)的面積為,求與的函數(shù) 關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA,OC分別位于x軸,y軸上,經(jīng)過A,C兩點的拋物線變x軸于另一點D,連接AC.請你只用無刻度的直尺按要求畫圖.
(1)在圖1中的拋物線上,畫出點E,使DE=AC;
(2)在圖2中的拋物線上,畫出拋物線的頂點F.
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【題目】某電信公司手機(jī)的通訊卡有,兩種業(yè)務(wù)類型:類卡收費標(biāo)準(zhǔn)是:不管通話時間多長,每部手機(jī)每月必須繳月租費12元,另外,通話費按0.2元/分鐘計;類卡收費標(biāo)準(zhǔn)是:沒有月租,但通話費按0.25元/分鐘計.如圖所示,是每月應(yīng)繳費用(元)與通話時間(分鐘)之間的函數(shù)圖象.下列結(jié)論:
①圖中是類卡的收費方式所表示的函數(shù)圖象;
②若李海本月的通話時間為180分鐘,則他選擇類卡省錢;
③若本月李海預(yù)繳了100元的話費,則他選擇類卡劃算;
④若類卡比類卡的話費多10元,則類卡和類卡的通話時間都是40分鐘或類卡比類卡的通話時間多40分鐘且類卡和類卡的通話時間分別為240分鐘和200分鐘.其中正確的結(jié)論有( )
A.①②③④B.②③④C.②③D.②④
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【題目】如圖所示,是擺放在張明和趙華面前的甲和乙兩個圓柱形水槽從正面看到的圖形,甲槽中有適量的水,乙槽中有一圓柱形鐵塊(圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面,鐵塊的高度低于水槽的高度).張明將甲槽中的水勻速注入乙槽,同時趙華計時并測量,最后他們把甲、乙兩個水槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系畫出了如圖所示的函數(shù)圖象.請根據(jù)函數(shù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)如圖所示,線段表示 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系;折線表示 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系(以上兩空填“甲” 或“乙”);點的縱坐標(biāo)14表示的實際意義是 ;
(2)分別求線段、線段的函數(shù)表達(dá)式;
(3)注水多長時間時,甲、乙兩個水槽中水的深度相同?
(4)若乙水槽的底面積為(水槽壁的厚度不計),求乙水槽中鐵塊的體積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋中裝有5個只有顏色不同的球,其中3個黃球,2個黑球.
(1)求從袋中同時摸出的兩個球都是黃球的概率;
(2)現(xiàn)將黑球和白球若干個(黑球個數(shù)是白球個數(shù)的2倍)放入袋中,攪勻后,若從袋中摸出一個球是黑球的概率是,求放入袋中的黑球的個數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點,CD=CB,延長CD交BA的延長線于點E.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
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