如圖,平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH,點H的坐標(biāo)為(-8,0),點N的坐標(biāo)為(-6,-4).
(1)畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC,并寫出頂點A,B,C的坐標(biāo)(點M的對應(yīng)點為A,點N的對應(yīng)點為B,點H的對應(yīng)點為C);
(2)求出過A,B,C三點的拋物線的表達式;
(3)試設(shè)計一種平移使(2)中的拋物線經(jīng)過四邊形ABCO的對角線交點;
(4)截取CE=OF=AG=m,且E,F(xiàn),G分別在線段CO,OA,AB上,四邊精英家教網(wǎng)形BEFG是否存在鄰邊相等的情況?若存在,請直接寫出此時m的值,并指出相等的鄰邊;若不存在,說明理由.
分析:(1)由于直角梯形OMNH繞點O旋轉(zhuǎn)180°后得到圖形OABC,因此梯形OMNH和梯形OABC是中心對稱圖形,且對稱中心為原點O,所以點A、B、C與點M、N、H關(guān)于原點對稱,即可求出點A、B、C的坐標(biāo);
(2)已知了拋物線圖象上A、B、C三點的坐標(biāo),可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;
(3)可先求出直線OB、AC的解析式,聯(lián)立兩條直線的解析式即可求得它們的交點坐標(biāo);若使(2)所得拋物線經(jīng)過此交點,那么平移方法有很多種,以該拋物線頂點經(jīng)過此交點為例,首先將拋物線的解析式化為頂點坐標(biāo)式,即可得到其頂點坐標(biāo),然后分別求出這兩點橫、縱坐標(biāo)的差,根據(jù)“上加下減,左加右減”的平移規(guī)律來確定平移方案即可;
(4)過B作BM⊥x軸于M,易求得MC、BM、BC的值,即可得到表示出EM的長,然后分別表示出BE2、EF2、GF2、BG2的值,由于不確定四邊形BEFG的哪兩條鄰邊相等,因此分:①BG=GF,②BE=BG,③BE=EF,④GF=EF;四種情況進行討論,根據(jù)各自的等量關(guān)系,列出不同的關(guān)于m的方程求出m的值.
解答:解:(1)利用中心對稱性質(zhì),畫出梯形OABC.精英家教網(wǎng)
∵A,B,C三點與M,N,H分別關(guān)于點O中心對稱,
∴A(0,4),B(6,4),C(8,0);

(2)設(shè)過A,B,C三點的拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx+c,
∵拋物線過點A(0,4),
∴c=4.則拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx+4.
將B(6,4),C(8,0)兩點坐標(biāo)代入關(guān)系式,得
36a+6b+4=4
64a+8b+4=0

解得
a=-
1
4
b=
3
2

所求拋物線關(guān)系式為:y=-
1
4
x2+
3
2
x+4
;(2分)

(3)由y=-
1
4
x2+
3
2
x+4
得,它的頂點是(3,
25
4

又直線OB的解析式是y=
2
3
x,直線AC的解析式是y=-
1
2
x+4

兩直線的交點是(
24
7
,
16
7
);
24
7
-3=
3
7
,
16
7
-
25
4
=-
111
28
;
所以,只要把拋物線y=-
1
4
x2+
3
2
x+4
向右平移
3
7
,向下平移
111
28
個單位就能使頂點過梯形ABCO的對角線交點;

(4)OA=4,OC=8,
∴AF=4-m,OE=8-m.
過B作BM⊥x軸于M,則:BM=OA=4,MC=OC-AB=2;
∴EM=m-2或2-m,
即ME2=(m-2)2;
在Rt△BEM中,BM=4,ME2=(m-2)2
根據(jù)勾股定理得:BE2=BM2+ME2=m2-4m+20;
同理:EF2=2m2-16m+64,GF2=2m2-8m+16,
而BG=6-m,
即BG2=m2-12m+36;則:
①GB=GF,則GB2=GF2,得:
m2-12m+36=2m2-8m+16,即m2+4m-20=0,
解得m=-2±2
6
(負值舍去);
故當(dāng)m=-2+2
6
時,GB=GF,
②BE=BG,則BE2=BG2,得:
m2-4m+20=m2-12m+36,
解得m=2;
故當(dāng)m=2時,BE=BG.
③BE=EF,則BE2=EF2
得:m2-4m+20=2m2-16m+64,
即m2-12m+44=0,
此方程無解,
故此種情況不成立.
④GF=EF,則GF2=EF2,
得:2m2-8m+16=2m2-16m+64,
解得m=6,
此時BG=6-m=0,構(gòu)不成四邊形BEFG,故此種情況不成立.
綜上所述,當(dāng)m=-2+2
6
時,GB=GF,當(dāng)m=2時,BE=BG.
點評:此題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、勾股定理的應(yīng)用等知識.要注意的(4)題,由于四邊形的相等鄰邊沒有明確告知,需要分類討論,以免漏解.
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1x
上運動,則B點在函數(shù)解析式
 
上運動.

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3

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a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.點D為線段OA上一動點,連接CD.
(1)判斷△ABC的形狀并說明理由;
(2)如圖,過點D作CD的垂線,過點B作BC的垂線,兩垂線交于點G,作GH⊥AB于H,求證:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
;
(3)如圖,若點D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點,且EF∥CD交y軸于點F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.

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