操作:如圖①,點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn),直線PQ與MN相交于點(diǎn)O,請利用圖①畫出一對以點(diǎn)O為對稱中心的全等三角形。

根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng):(本題12分)
探究一:如圖②,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E為BC邊的中點(diǎn),∠BAE=∠EAF,AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

探究二:如圖③,DE、BC相交于點(diǎn)E,BA交DE于點(diǎn)A,且BE:EC=1:2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB。若AB=5,CF=1,求DF的長度。
解:(1)如圖

(2)結(jié)論:AB=AF+CF.
證明:分別延長AE、DF交于點(diǎn)M.

∵E為BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,
在△ABE與△MCE中,

∴△ABE≌△MCE,
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵M(jìn)C=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分別延長DE、CF交于點(diǎn)G.

∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,

∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
(1)根據(jù)全等三角形的判定中的邊角邊為作圖的理論依據(jù),來畫出全等三角形.
(2)本題可通過作輔助線將AB,F(xiàn)C,AF構(gòu)建到一個(gè)相關(guān)聯(lián)的三角形中,可延長AE、DF交于點(diǎn)M,不難證明△ABE≌△MCE,那么AB=CF,現(xiàn)在只要將AF也關(guān)聯(lián)到三角形BEC中,我們發(fā)現(xiàn),∠BAE=∠EAF,∠BAE=∠M(AB∥CD),那么三角形AMF就是個(gè)等腰三角形,AF=MF,因此AB=MC=MF+FC=AF+FC;
(3)本題的作法與(2)類似,延長DE、CF交于點(diǎn)G,不難得出△ABE∽△GCE,
可根據(jù)線段的比例關(guān)系和AB的值得到CG的值,然后就能得出FG的值,同(2)可得出△DFG是等腰三角形,那么DF=GF,這樣就求出DF的值了.
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已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在CB的延長線上,且AD=BE,求證:

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如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),請你添加一個(gè)條件,使△ABC與△AED相似,你添加的條件是       

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兩個(gè)相似三角形的相似比為2:3,它們的面積和為65,那么較大三角形的面積是______.

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如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°.
(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn)C作CD⊥AC交AB于點(diǎn)D;
過A,D,C三點(diǎn)作⊙O(只要求作出圖形,保留痕跡,不要求寫作法);
(2)求證:.

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如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連結(jié)DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長為______cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm²),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(4)連結(jié)CD.當(dāng)點(diǎn)N于點(diǎn)D重合時(shí),有一點(diǎn)H從點(diǎn)M出發(fā),在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng),直至點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí),點(diǎn)H停止往返運(yùn)動(dòng);當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H始終在線段MN的中心處.直接寫出在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)H落在線段CD上時(shí)t的取值范圍.

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A.B.C.D.

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