Question

如圖，已知拋物線C₁：y₁=x²﹣x+1，點F．

（1）求拋物線C₁的頂點坐標；

①若拋物線C₁與y軸的交點為A，連接AF，并延長交拋物線C₁于點B，求證：+=1；

②拋物線C₁上任意一點P（x_p，y_p）（0＜x_p＜2），連接PF，并延長交拋物線C₁于點Q（x_Q，y_Q），試判斷+為常數(shù)，請說明理由．

 

Answer 1

（1）解：∵C₁：y₁=x²﹣x+1=（x﹣2）²．

∴頂點坐標為；

 

①證明：∵C₁與y軸交點A，

∴A（0，1）．

∴AF=2，BF=2．

∴+=1．

②解：如圖，作PM⊥AB，QN⊥AB，垂足分別為M，N，設P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）．

在△MFP中，

∵MF=2﹣x_p，MP=1﹣y_p（0＜x_p＜2）．

∴PF²=MF²+MP²=²+（1﹣y_p）²．

∵點P在拋物線上，

∴²=4y_p．

∴PF²=4y_p+（1﹣y_p）²=（1+y_p）²．

∴PF=1+y_p．同理可得：QF=1+y_Q．

∵∠MFP=∠NFQ，∠PMF=∠QNF=90°，

∴△PMF∽△QNF．

∵PM=1﹣y_P=2﹣PF，

QN=y_Q﹣1=QF﹣2，

∴===．

∴PF•QF﹣2PF=2QF﹣QF•PF．

∴+=1為常數(shù)．