【題目】如圖1,在中,頂點是它們的公共頂點,

(特例感悟)(1)當(dāng)頂點與頂點重合時(如圖1),相交于點,相交于點,求證:四邊形是菱形;

(探索論證)(2)如圖2,當(dāng)時,四邊形是什么特殊四邊形?試證明你的結(jié)論;

(拓展應(yīng)用)(3)試探究:當(dāng)等于多少度時,以點為頂點的四邊形是矩形?請給予證明.

【答案】(1)見解析; (2)當(dāng)GBC=30°時,四邊形GCFD正方形.證明見解析;(3)當(dāng)GBC=120°時,以點,,為頂點的四邊形CGFD是矩形. 證明見解析.

【解析】

1)先證明四邊形是平行四邊形,再通過證明得出,從而證明四邊形是菱形;

2)證法一:如圖,連接,在上取一點,使得,通過證明,,,從而證明當(dāng)GBC=30°時,四邊形GCFD正方形;

證法二:如圖,過點GGHBCH,通過證明OD=OC=OG=OF,GF=CD,從而證明當(dāng)GBC=30°時,四邊形GCFD正方形;

3當(dāng)GBC=120°時,點E與點A重合,通過證明CD=GF,,從而證明四邊形是矩形

(1) ,,

四邊形是平行四邊形,

中,

,

,

四邊形是菱形.

(2)當(dāng)GBC=30°時,四邊形GCFD正方形.

證法一:如圖,連接,在上取一點,使得,

,

,

,

.

,,,

,

,

,

,

設(shè),則,,

RtBGK中,,解得,

,,

,

,

,,

四邊形是平行四邊形,

,

四邊形是矩形,

,

四邊形是正方形.

證法二:如圖

,

.

,

,.

過點GGHBCH,

RtBHG中,

,

GH=BG+1,BHGH3,

HC=BCBH=2+2-3=-1

GC=,

OG=OC===2,

OD=OF=4-2=2,

OD=OC=OG=OF

四邊形是矩形,

GF=CD,

四邊形是正方形.

(3) 當(dāng)GBC=120°時,以點,,為頂點的四邊形CGFD是矩形.

當(dāng)GBC=120°時,點E與點A重合.

,

,

.

四邊形ABCD和四邊形GBEF是平行四邊形,

,,AB=CDAB=GF,

CD=GF,

四邊形是平行四邊形.

四邊形是矩形.

練習(xí)冊系列答案
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