Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE．點(diǎn)G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF平分∠GDC，且DF=BE，連接FB、FC，F(xiàn)B與AC交于點(diǎn)M．

（1）若點(diǎn)E是BD的三等分點(diǎn)（DE＜BE），BF=，求△ABE的面積；

（2）求證：DE=2CM．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由點(diǎn)E是BD的三等分點(diǎn)，設(shè)BE＝DF=2x，DE=x. 在Rt△BDF中，根據(jù)勾股定理得BD+DF=BF，即可求出的值，根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

（2）延長(zhǎng)DF、BC交于點(diǎn)H.證明△EBA≌△FDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF,∠AEB=∠CFD，再證明△AED≌△CFH，即可證明.

解：（1）由題意易得∠BDF=90°，

∵點(diǎn)E是BD的三等分點(diǎn)（DE＜BE）

∴設(shè)BE＝DF=2x，DE=x.

在Rt△BDF中，∠BDF=90°

∵BD+DF=BF

∴9x+4x=156解得x=

∴BE=2x=,AO=BD=

∴△ABE面積=·BE·AO==18.

（2）同時(shí)延長(zhǎng)DF、BC交于點(diǎn)H.

∵O是BD中點(diǎn)，OC∥DF

∴M是BF中點(diǎn)，C是BH中點(diǎn).

∴CM是△BFH的中位線.

即FH=2CM.

在△EBA與△FDC中

EB=FD;∠ABE=∠FDC=45°，CD=AB

∴△EBA≌△FDC（SAS）.

∴AE=CF,∠AEB=∠CFD

∴∠AED=∠CFH.

∵CM∥FH

∴∠H=∠ACB=∠ADB=45°.

在△AED與△CFH中

∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH，AE=CF

∴△AED≌△CFH（AAS）

∴DE=FH=2CM.