Question

已知拋物線y=（x-2）²-m²（常數(shù)，n＞0）的頂點為P．
（1）寫出拋物線的開口方向和P點的橫坐標；
（2）若此拋物線與x軸的兩個交點從左到右分別為A、B，并且∠APB=90°，試求△ABP的周長．

Answer 1

解：（1）拋物線開口向上，頂點P的橫坐標為2；

（2）如圖，設(shè)A、B兩點坐標分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）．
由（x-2）²-m²=0，
∵m＞0，
∴x₁=-m+2，x₂=m+2．
AB=x₂-x₁=（m+2）-（-m+2）=2m．
∵P為拋物線的頂點．
又∵拋物線對稱軸為AB的垂直平分線，
∴∠PAB=45°．
因此AD=PD
∴PD=AB．
即m²=•2m．
∵m＞0．
∴m=1
由此可求得：AB=2，AP=BP=
∴△APB的周長為2+2．
分析：（1）拋物線的解析式中，二次項系數(shù)決定開口的方向和開口的大小，本題中拋物線的二次項系數(shù)為1，因此開口向上．由于本題的拋物線的解析式是頂點式表達式．因此可直接得出頂點P的橫坐標為2．
（2）求△ABP的周長，關(guān)鍵是確定三角形三頂點的坐標．可先根據(jù)拋物線的解析式用m表示出A、B兩點的橫坐標，那么AB的差就是這兩個橫坐標的差的絕對值，由于∠APB=90°，可得出△APB是等腰直角三角形，因此P點的縱坐標的絕對值應(yīng)該是AB長的一半，由此可求出m的值．進而可求出A、B、P三點的坐標即可求出△ABP的周長．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達定理）．