Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)原點(diǎn)O，且與軸交于另一點(diǎn)，其頂點(diǎn)為．孔明同學(xué)用一把寬為帶刻度的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量：

① 量得；② 把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱軸重合，使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合（如圖1），測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)的刻度讀數(shù)為．

請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

（1）寫出拋物線的對(duì)稱軸；(2）求拋物線的解析式；（3）將圖中的直尺（足夠長(zhǎng)）沿水平方向向右平移到點(diǎn)的右邊（如圖2），直尺的兩邊交軸于點(diǎn)、，交拋物線于點(diǎn)、．求證： ．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由于O、A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且OA=3cm，由此可求得拋物線的對(duì)稱軸為x=．

（2）根據(jù)O、A的坐標(biāo)，可將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式，在（1）題求得了拋物線的對(duì)稱軸，即可得到B、C的橫坐標(biāo)，分別代入拋物線的解析式中，表示出它們的縱坐標(biāo)，根據(jù)C、B的縱坐標(biāo)差為4.5即可列方程求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式．

（3）可設(shè)出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)直尺的寬度得到F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)（2）題所得拋物線，即可表示出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用梯形的面積公式，可求出梯形EFGH的面積表達(dá)式，然后同（EF2-9）進(jìn)行比較即可．

試題解析：（1）

（2）設(shè)拋物線的解析式為： ，當(dāng)時(shí)， ，即；當(dāng)時(shí)， ，即，依題意得： ，解得： ．

∴拋物線的解析式為： ．

（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)， ，得： ①

②

又，得，分別代入①、②得： ，

∴得：

又 ∴