Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是________．

（1）EF=OE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF= OA；（4）在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=OE；故正確；

（2）∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，

∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確；

（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正確；

（4）過點O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴OH=BC=，

設AE=x，則BE=CF=1-x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x（1-x）+（1-x）×=-（x-）2+，

∵a=-＜0，

∴當x=時，S△BEF+S△COF最大；

即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；故錯誤；

故答案為（1）（2）（3）．