【題目】已知,在矩形中,的平分線DEBC邊于點(diǎn)E,點(diǎn)P在線段DE上(其中EP<PD).

1)如圖1,若點(diǎn)FCD邊上(不與點(diǎn)C,D重合),將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,角的兩邊PD、PF分別交AD邊于點(diǎn)H、G

①求證:;

②探究:、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)拓展:如圖2,若點(diǎn)FCD的延長(zhǎng)線上,過點(diǎn)P,交射線DA于點(diǎn)G.你認(rèn)為(2)中DFDG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,給出證明,若不成立,請(qǐng)寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式,并說明理由.

【答案】1)①詳見解析;②,詳見解析;(2.詳見解析

【解析】

1)①若證PG=PF,可證△HPG≌△DPF,已知∠DPH=HPG,由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=HPD=90°DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形,即∠DHP=PDF=45°、PD=PH,即可得證;
②由△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPFHD=DP,HG=DF,根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得;
2)過點(diǎn)PPHPD交射線DA于點(diǎn)H,先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD,HD=DP,再證△HPG≌△DPF可得HG=DF,根據(jù)DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF=DP

解:(1)①∵∠GPF=HPD=90°,∠ADC=90°,
∴∠GPH=FPD,
DE平分∠ADC,
∴∠PDF=ADP=45°,
∴△HPD為等腰直角三角形,
∴∠DHP=PDF=45°,
在△HPG和△DPF中,
,
∴△HPG≌△DPFASA),
PG=PF;
②結(jié)論:DG+DF=DP
由①知,△HPD為等腰直角三角形,△HPG≌△DPF
HD=DP,HG=DF,
HD=HG+DG=DF+DG,
DG+DF=DP;
2)不成立,數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為:DG-DF=DP,
如圖,過點(diǎn)PPHPD交射線DA于點(diǎn)H,

PFPG,
∴∠GPF=HPD=90°,
∴∠GPH=FPD,
DE平分∠ADC,且在矩形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠HDP=EDC=45°,得到△HPD為等腰直角三角形,
∴∠DHP=EDC=45°,且PH=PD,HD=DP,
∴∠GHP=FDP=180°-45°=135°
在△HPG和△DPF中,

∴△HPG≌△DPF,
HG=DF
DH=DG-HG=DG-DF,
DG-DF=DP

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1= 2=    

BE//CF( )

1=2

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ABC=BCD

AB//CD

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②若AC⊥BD,求證:AD=CD.
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