【題目】拋物線經(jīng)過點A(-4,0),B(2,0)且與軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段AC上一點,過點P作軸平行線,交拋物線于點D,當(dāng)△ADC的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線頂點為E,EF⊥x軸子F點,M、N分別是軸和線段EF上的動點,設(shè)M的坐標(biāo)為(m,0),若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
圖1 圖2
【答案】(1)y=x2+2x﹣8;(2)(﹣2,﹣4);(3)﹣10≤m≤15
【解析】試題分析:(1)只需用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式;
(2)可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-2x-8,設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,-2a-8),則點D(a,a2+2a-8),(-4<a<0),然后用割補法求得S△ADC=-2(a+2)2+8,從而可求出△ADC的面積最大時點P的坐標(biāo);
(3)易求得OF=1、EF=9、OC=8.設(shè)FN=n,(0≤n≤9),然后分三種情況(Ⅰ.M與點F重合,Ⅱ.M在點F左側(cè),Ⅲ.M在點F右側(cè))討論,運用相似三角形的性質(zhì)均可得到m=-n2+8n-1(0≤n≤9).由m=-n2+8n-1=-(n-4)2+15可得到m最大值為15,再由n=0時m=-1,n=9時m=-10可得m最小值為-10,從而可得到m的取值范圍.
解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣4,0),B(2,0),
∴ ,
解得 .
∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣8.
(2)如圖1,
令x=0,得y=﹣8,
∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣8).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,
則,
解得:,
∴直線AC的解析式為y=﹣2x﹣8.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,﹣2a﹣8),則點D(a,a2+2a﹣8),(﹣4<a<0),
∴PD=(﹣2a﹣8)﹣(a2+2a﹣8)=﹣a2﹣4a,
∴S△ADC=S△APD+S△CPD
=PD[a﹣(﹣4)]+PD(0﹣a)
=2PD=﹣2(a2+4a)
=﹣2(a+2)2+8,
∴當(dāng)a=﹣2時,S△ADC取到最大值為8,此時點P的坐標(biāo)為(﹣2,﹣4).
(3)由y=x2+2x﹣8=(x+1)2﹣9得E(﹣1,﹣9)、C(0,﹣8),
則有OF=1、EF=9、OC=8.
設(shè)FN=n,(0≤n≤9),
Ⅰ.當(dāng)M與點F重合時,此時m=﹣1,n=8,顯然成立;
Ⅱ.當(dāng)M在點F左側(cè),作NQ⊥y軸于點Q,如圖2①,此時m<﹣1.
∵∠MNC=∠FNQ=90°,∴∠MNF=∠CNQ.
∵∠MFN=∠CQN=90°,
∴△MFN∽△CQN,
∴=,
∴=,
∴m=﹣n2+8n﹣1.
Ⅲ.當(dāng)M在點F右側(cè),作NQ′⊥y軸于點Q′,如圖2②,此時m>﹣1.
∵∠MNC=∠FNQ′=90°,∴∠MNF=∠CNQ′.
∵∠MFN=∠CQ′N=90°,
∴△MFN∽△CQ′N,
∴=,
∴=,
∴m=﹣n2+8n﹣1.
綜上所述:m=﹣n2+8n﹣1,(0≤n≤9).
∴m=﹣n2+8n﹣1=﹣(n﹣4)2+15,
∴當(dāng)n=4時,m取到最大值為15.
∵n=0時m=﹣1,n=9時m=﹣10,
∴m取到最小值為﹣10,
∴m的取值范圍是﹣10≤m≤15.
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【題目】NBA季后賽正如火如荼地進(jìn)行著,詹姆斯率領(lǐng)的騎士隊在第三場季后賽中先落后25分的情況
下實現(xiàn)了大逆轉(zhuǎn).該場比賽中詹姆斯的技術(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
技術(shù) | 上場時間 (分鐘) | 出手投籃(次) | 投中 (次) | 罰球 得分 | 籃板 (個) | 助攻 (次) | 個人 總得分 |
數(shù)據(jù) | 45 | 27 | 14 | 7 | 13 | 12 | 41 |
【注:表中出手投籃次數(shù)和投中次數(shù)均不包括罰球,個人總得分來自2分球和3分球的得分以及罰
球得分.】根據(jù)以上信息,求出本場比賽中詹姆斯投中2分球和3分球的個數(shù).
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【題目】已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.點F是點E關(guān)于AB的對稱點,連接AF、BF.
(1)求AE和BE的長;
(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移,平移中的△ABF為△A1B1F1設(shè)平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度).
①當(dāng)點F分別平移到線段AB上時,求出m的值
②當(dāng)點F分別平移到線段AD上時,當(dāng)直接寫出相應(yīng)的m的值.
(3)如圖②,將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)A′F′所在的直線與直線AE交于點O,當(dāng)∠A′BD=∠FAB時,請直接寫出OB的長.
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【題目】如圖,以扇形OAB的頂點O為原點,半徑OB所在的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點B的坐標(biāo)為(2,0),若拋物線與扇形OAB的邊界總有兩個公共點,則實數(shù)的取值范圍是________________.
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【題目】某校為了滿足學(xué)生借閱圖書的需求,計劃購買一批新書,為此,該校圖書管理員對一周內(nèi)本校學(xué)生從圖書館借出各類圖書的數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計,結(jié)果如圖所示
請你根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息,解答下列問題:
(1)補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖
(2)該校學(xué)生最喜歡借閱哪類圖書?并求出此類圖書所在扇形的圓心角的度數(shù)?
(3)該校計劃購買新書共600本,若按扇形統(tǒng)計圖中的百分比來相應(yīng)地確定漫畫、科普、文學(xué)、其他這四類圖書的購買量,問應(yīng)購買這四類圖書各多少本?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,線段A′B′是由線段AB經(jīng)過平移得到的,已知點A(﹣2,1)的對應(yīng)點為A′(3,﹣1),點B的對應(yīng)點為B′(4,0),則點B的坐標(biāo)為( )
A.(9,﹣1)
B.(﹣1,0)
C.(3,﹣1)
D.(﹣1,2)
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【題目】列方程解應(yīng)用題
幾個人共同種-批樹苗,如果每個人種8棵,則剩余5棵樹苗未種;如果增加3棵樹苗,則每個人剛好種10棵樹苗.求原有多少棵樹苗和多少個人?
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【題目】如圖,點P1,P2,P3,P4均在坐標(biāo)軸上,且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4,若點P1,P2的坐標(biāo)分別為(0,﹣1),(﹣2,0),求點P4的坐標(biāo).
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