Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的兩個(gè)根（x₁＜x₂），且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出直線AC和BC的解析式；
（3）如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)P作直線y=m（m為常數(shù)），與直線BC交于點(diǎn)Q，則在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得以PQ為一腰的△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)直線y=kx+2k（k＞0）與線段OC交于點(diǎn)D，與（1）中的拋物線交于點(diǎn)E，若S_△CDE=S_△AOE，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可寫(xiě)出直線AC和BC的解析式；
（3）根據(jù)題中已知條件可知PQ∥AB，結(jié)合三角形相似的性質(zhì)求出m的值，點(diǎn)P在直線AC上，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)和Q點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得R點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）根據(jù)三角形面積相等的性質(zhì)便可直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-x-6=0，
得x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c，

4a-2b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=- 1 2 b= 1 2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3，

（2）直線AC的解析式：y=

3

2

x+3；（4分）
直線BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)R，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，
∴點(diǎn)E（0，m）不與點(diǎn)O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ為等腰直角三角形PQR的一腰，
過(guò)點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R₁PQ=90°，
|PQ|=|PR₁|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴

|PQ|

|AB|

=

|EC|

|OC|

，
即

m

5

=

3-m

3

解得m=

15

8

，
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
∵點(diǎn)P在直線AC上，
∴

2

3

x_P+3=

15

8

，
解得x_P=-

3

4

，
P（-

3

4

，

15

8

），
∴點(diǎn)R₁（-

3

4

，0）．
過(guò)點(diǎn)Q作QR₂⊥x軸于點(diǎn)R₂，則∠R₂QP=90°，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴點(diǎn)R₂（

9

8

，0），
所以存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)R，他們分別是R₁（-

3

4

，0），R₂（

9

8

，0）；

（4）E（2，2）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的證明及三角形的相似等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．