【題目】[數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索活動(dòng)]

實(shí)驗(yàn)材料現(xiàn)有若干塊如圖①所示的正方形和長(zhǎng)方形硬紙片.

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/span>

用若干塊這樣的正方形和長(zhǎng)方形硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形,通過(guò)不同的方法計(jì)算面積,得到相應(yīng)的等式,從而探求出多項(xiàng)式乘法或分解因式的新途徑.

例如,選取正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共 6 塊,拼出一個(gè)如圖②的長(zhǎng)方形,計(jì)算它的面積, 寫(xiě)出相應(yīng)的等式有 a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) (a+2b)(a+b) =a2+3ab+2b2

問(wèn)題探索:

(1) 小明想用拼圖的方法解釋多項(xiàng)式乘法(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2 ,那么需要兩種正方形紙片 張,長(zhǎng)方形紙片 張;

(2)選取正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共 8 塊,可以拼出一個(gè)如圖③的長(zhǎng)方形,計(jì)算圖③的面積,并寫(xiě)出相應(yīng)的等式;

(3)試借助拼圖的方法,把二次三項(xiàng)式 2a2+5ab+2b2 分解因式,并把所拼的圖形畫(huà)在虛線方框內(nèi).

【答案】13,3;(2a2+4ab+3b2=a+3b)(a+b);(32b2+5ab+2a2=2b+a)(b+2a).畫(huà)圖見(jiàn)解析.

【解析】

1)根據(jù)多項(xiàng)式(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2可發(fā)現(xiàn)矩形有兩個(gè)小正方形,一個(gè)大正方形和三個(gè)小長(zhǎng)方形.

2)正方形、長(zhǎng)方形硬紙片一共八塊,面積等于長(zhǎng)為a+3b,寬為a+b的矩形面積.所以a2+4ab+3b2=a+3b)(a+b

3)正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共9塊,畫(huà)出圖形,面積等于長(zhǎng)為a+2b,寬為2a+b的矩形面積,則2a2+5ab+2b2=2a+b)(a+2b

1)∵(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2

∴拼圖需要兩個(gè)小正方形,一個(gè)大正方形和三個(gè)小長(zhǎng)方形

∴需要3個(gè)正方形紙片,3個(gè)長(zhǎng)方形紙片.

2)∵大長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a+3b,寬為a+b

∴面積S=a+3b)(a+b

又∵大長(zhǎng)方形由三個(gè)大正方形,一個(gè)小正方形和四個(gè)小長(zhǎng)方形組成

∴面積S= a2+4ab+3b2

a2+4ab+3b2=a+3b)(a+b)

3)∵由2b2+5ab+2a2可知

大長(zhǎng)方形由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)大正方形以及五個(gè)長(zhǎng)方形組成,如圖

2b2+5ab+2a2=2b+a)(b+2a).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng),連結(jié)AP.設(shè)△ABP的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A)汽車在高速公路上的行駛速度為100km/h

B)鄉(xiāng)村公路總長(zhǎng)為90km

C)汽車在鄉(xiāng)村公路上的行駛速度為60km/h

D)該記者在出發(fā)后4.5h到達(dá)采訪地

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(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),BP2=BDBC;
(3)當(dāng)△PCD的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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拓展研究:如圖3,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B軸,垂足為點(diǎn)A,作軸,垂足為點(diǎn)C,P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線上一動(dòng)點(diǎn)問(wèn)是否存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求直線l的表達(dá)式;
(2)若反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,求m的值.

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