【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn).現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.如圖,若該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且a=-.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式;

(2)連結(jié)CD.問(wèn):在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1).y=-x2x;(2)在拋物線上存在點(diǎn)P1(),P2(,-),使得∠POB與∠BCD互余.

【解析】試題分析:(1)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,先通過(guò)三角形全等求得D的坐標(biāo),把D的坐標(biāo)和a=-,c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式;
(2)先證得CD∥x軸,進(jìn)而求得要使得∠POB與∠BCD互余,則必須∠POB=∠BAO,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,-x2+x),分兩種情況討論即可求得;

試題解析:

(1)過(guò)點(diǎn)DDFx軸于點(diǎn)F.

∵∠DBFABO=90°,BAOABO=90°,

DBFBAO.

又∵∠AOBBFD=90°,ABBD,

∴△AOB≌△BFD

DFBO=1,BFAO=2,

D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1)

根據(jù)題意,拋物線y=-x2bxc經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)D

c=0,(-)×32b×3+c=1,

b,

∴該拋物線解析式為y=-x2x

(2)存在.

C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)都為1,

CDx軸,

∴∠BCDABO,

∴∠BAO與∠BCD互余.若要使得∠POB與∠BCD互余,則需滿足∠POBBAO.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,- x2x).

當(dāng)點(diǎn)Px軸上方時(shí),則tanPOB=tanBAO,

,解得x1=0(舍去),x2.

當(dāng)x時(shí),- x2x,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是();

當(dāng)點(diǎn)Px軸下方時(shí),則,解得x1=0(舍去),x2

.當(dāng)x時(shí),

x2x=-

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,-).

綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn)P1(,),P2(,-),使得∠POB與∠BCD互余.

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(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率

(2) 如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬(wàn)件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成20176月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能,請(qǐng)問(wèn)至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?

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