Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A(0，2)，B(1，0)分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.如圖，若該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且a＝－.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；

(2)連結(jié)CD.問(wèn)：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)．y＝－x2＋x；（2）在拋物線上存在點(diǎn)P1(，)，P2(，－)，使得∠POB與∠BCD互余．

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先通過(guò)三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=-，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；
（2）先證得CD∥x軸，進(jìn)而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x），分兩種情況討論即可求得；

試題解析：

(1)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F.

∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴

∠DBF＝∠BAO.

又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，

∴△AOB≌△BFD，

∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)．

根據(jù)題意，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)D，

∴c＝0，(－)×32＋b×3＋c＝1，

∴b＝，

∴該拋物線解析式為y＝－x2＋x；

(2)存在．

∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD＝∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余．若要使得∠POB與∠BCD互余，則需滿足∠POB＝∠BAO.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－ x2＋x)．

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，則tan∠POB＝tan∠BAO，

∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝.

當(dāng)x＝時(shí)，－ x2＋x＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，則，解得x1＝0(舍去)，x2＝

.當(dāng)x＝時(shí)，

∴－x2＋x＝－，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，－)．

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P1(，)，P2(，－)，使得∠POB與∠BCD互余．