Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂ 外切于點P，AB過點P分別交⊙O₁和⊙O₂ 于點A，B．BD切⊙O₂ 于點B，交⊙O₁于點C，D．⊙O₁的直徑AE交BD于點F．求證：
（1）AE⊥BD；
（2）∠APD=∠BPC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相切兩圓的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，求得MP=MB，∠EPM=∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠MPB=∠MBP，然后依據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠EPO₁+∠BPO₂=90°，從而求得∠A+∠MPB=90°，即可求得AE⊥BD．
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)求得∠CPM=∠D，由（1）可知∠MPB=∠MBP，然后根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的內(nèi)角的和即可求得．

解答：
（1）連接PE，作PM⊥O₁O₂，交BD于M，
∴MP是⊙O₁、⊙O₂切線，
∵DB是⊙O₂的切線，
∴PM=BM，
∴∠MPB=∠MBP，
∵MP是⊙O₁的切線，
∴∠EPM=∠A，
∵AE是直徑，
∴∠EPO₁+∠APO₁=90°，
∴∠EPO₁+∠BPO₂=90°，
∴∠EPM+∠MPB=90°，
∴∠A+∠MPB=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BD，

（2）∵MP是⊙O₁ 的切線，
∴∠CPM=∠D，
由（1）可知∠MPB=∠MBP，
∴∠CPM+∠MPB=∠D+∠MBP，
即∠APD=∠BPC．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作出公切線是解題的關(guān)鍵．