【題目】某同學(xué)用兩個(gè)完全相同的直角三角形紙片重疊在一起(如圖1)固定ABC不動(dòng),將DEF沿線段AB向右平移.

(1)若∠A=60°,斜邊AB=4,設(shè)AD=x(0≤x≤4),兩個(gè)直角三角形紙片重疊部分的面積為y,試求出yx的函數(shù)關(guān)系式;

(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,四邊形CDBF能否為正方形,若能,請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)D的位置,并說(shuō)明理由;若不能,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,并說(shuō)明四邊形CDBF為正方形?

【答案】(1)y=(0≤x≤4);(2) 不能為正方形,添加條件:AC=BC時(shí),當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)位置時(shí)四邊形CDBF為正方形.

【解析】分析:(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得到DFAC,所以由平行線的性質(zhì)、勾股定理求得GD=,BG==,所以由三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式;(2)不能為正方形,添加條件:AC=BC時(shí),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),四邊形CDBF為正方形;當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),四邊形CDBF是菱形,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半推知CD=AB,BF=DE,所以AD=CD=BD=CF,又有BE=AD,CD=BD=BF=CF,故四邊形CDBF是菱形,根據(jù)有一內(nèi)角為直角的菱形是正方形來(lái)添加條件.

詳解:(1)如圖(1)

DFAC,

∴∠DGB=C=90°,GDB=A=60°,GBD=30°

BD=4﹣x,

GD=,BG==

y=SBDG=××=(0≤x≤4);

(2)不能為正方形,添加條件:AC=BC時(shí),當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)位置時(shí)四邊形CDBF為正方形.

∵∠ACB=DFE=90°,DAB的中點(diǎn)

CD=AB,BF=DE,

CD=BD=BF=BE,

CF=BD,

CD=BD=BF=CF,

∴四邊形CDBF是菱形;

AC=BC,DAB的中點(diǎn).

CDAB即∠CDB=90°

四邊形CDBF為菱形,

∴四邊形CDBF是正方形.

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(1)

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