Question

【題目】如圖，分別以△ABC 的邊 AB，AC 向外作等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE，線段 BE 與 CD 相交于點 O，連接 OA．

(1)求證：BE＝DC；

(2)求∠BOD 的度數(shù)；

(3)求證：OA 平分∠DOE．

(4)猜想線段 OA、OB、OD 的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 60°;(3)見解析;(4)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根據(jù)SAS證△ABE≌△ADC即可；（2）根據(jù)全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案；

（3）過點A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可；（4）在 OD 上截取一點 G，使得 OG＝OA．由（2）（3）知∠AOD＝∠BOD＝∠AOE＝60°，故可證△AOG 是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到AG＝AO，∠GAO＝60°，進而得到∠DAG＝∠BAO，根據(jù)SAS證△DAG≌△BAO，進而可得OD＝OG+DG＝OA+OB.

(1)證明：∵△ABD 和△ACE 都是等邊三角形，

∴ AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠BDA＝∠DBA＝∠CAE＝60°，

∴∠BAC+∠CAE＝∠BAC+∠BAD， 即∠BAE＝∠DAC．

在△ABE 和△ADC 中

∵，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE＝DC．

(2)解：由（1）知：△ABE≌△ADC，

∴∠ADC＝∠ABE

∴∠ADC+∠BDO＝∠ABE+∠BDO＝∠BDA＝60°

∴在△BOD 中，∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE

＝180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）

＝180°﹣60°﹣60°

＝60°．

(3)證明：過點 A 分別作 AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點 M，N．

∵由（1）知：△ABE≌△ADC，

∴S△ABE＝S△ADC

∴BEAM＝DCAN

∴AM＝AN

∴點 A 在∠DOE 的平分線上， 即 OA 平分∠DOE．

(4)解：結(jié)論：OD＝OA+OB．

理由：在 OD 上截取一點 G，使得 OG＝OA．

由（2）（3）可知：∠AOD＝∠BOD＝∠AOE＝60°，

∵OG＝OA，

∴△AOG 是等邊三角形，

∴AG＝AO，∠GAO＝60°，

∵∠DAB＝∠GAO＝60°，

∴∠DAG＝∠BAO，

∵AD＝AB，AG＝AO，

∴△DAG≌△BAO（SAS），

∴DG＝BO，

∴OD＝OG+DG＝OA+OB．