【題目】如圖,分別以△ABC 的邊 AB,AC 向外作等邊三角形 ABD 和等邊三角形 ACE,線段 BE 與 CD 相交于點(diǎn) O,連接 OA.
(1)求證:BE=DC;
(2)求∠BOD 的度數(shù);
(3)求證:OA 平分∠DOE.
(4)猜想線段 OA、OB、OD 的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)見解析;(2) 60°;(3)見解析;(4)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°,求出∠BAE=∠DAC.根據(jù)SAS證△ABE≌△ADC即可;(2)根據(jù)全等求出∠ADC=∠ABE,在△DOB中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案;
(3)過點(diǎn)A分別作AM⊥BE,AN⊥DC,垂足為點(diǎn)M,N.根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可;(4)在 OD 上截取一點(diǎn) G,使得 OG=OA.由(2)(3)知∠AOD=∠BOD=∠AOE=60°,故可證△AOG 是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到AG=AO,∠GAO=60°,進(jìn)而得到∠DAG=∠BAO,根據(jù)SAS證△DAG≌△BAO,進(jìn)而可得OD=OG+DG=OA+OB.
(1)證明:∵△ABD 和△ACE 都是等邊三角形,
∴ AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°,
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD, 即∠BAE=∠DAC.
在△ABE 和△ADC 中
∵,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC.
(2)解:由(1)知:△ABE≌△ADC,
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD 中,∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°﹣∠DBA﹣(∠ADC+∠BDO)
=180°﹣60°﹣60°
=60°.
(3)證明:過點(diǎn) A 分別作 AM⊥BE,AN⊥DC,垂足為點(diǎn) M,N.
∵由(1)知:△ABE≌△ADC,
∴S△ABE=S△ADC
∴BEAM=DCAN
∴AM=AN
∴點(diǎn) A 在∠DOE 的平分線上, 即 OA 平分∠DOE.
(4)解:結(jié)論:OD=OA+OB.
理由:在 OD 上截取一點(diǎn) G,使得 OG=OA.
由(2)(3)可知:∠AOD=∠BOD=∠AOE=60°,
∵OG=OA,
∴△AOG 是等邊三角形,
∴AG=AO,∠GAO=60°,
∵∠DAB=∠GAO=60°,
∴∠DAG=∠BAO,
∵AD=AB,AG=AO,
∴△DAG≌△BAO(SAS),
∴DG=BO,
∴OD=OG+DG=OA+OB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a,0),B(b,0),且+| b-6|=0.
(1)求A,B的坐標(biāo);
(2)如圖2,點(diǎn)P為AB的垂直平分線上一點(diǎn),BD⊥AP于點(diǎn)D,BE是△PBD的角平分線,EH⊥AB于點(diǎn)H,交BD于點(diǎn)G,若AD=m,DE=n,求△BEG的面積(用含m,n的式子表示);
(3)如圖3,點(diǎn)M在AB的垂直平分線上,且∠MAB=40°,點(diǎn)N在MA的延長線上,且MN=8,求∠ABN的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= ,CD= ,點(diǎn)P在四邊形ABCD上,若P到BD的距離為 ,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,D 為 BC 的中點(diǎn),DE⊥AC 于點(diǎn) E,AE=8,求 CE 的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊的中點(diǎn),∠EDF=90°,∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F.當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)(如圖1),易證.當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立? 若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,,,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是CD上一點(diǎn),DF⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)G,交BC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:△BCE≌△DCF.
(2)若∠DBE=∠CBE,求證:BD=BF.
(3)在(2)的條件下,求CE:ED的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在長方形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)Q沿BC從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng),如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6).
(1)當(dāng)PB=2厘米時(shí),求點(diǎn)P移動(dòng)多少秒?
(2)t為何值時(shí),△PBQ為等腰直角三角形?
(3)求四邊形PBQD的面積,并探究一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)BF=t(0≤t≤2),線段EF的垂直平分線GH分別交邊CD,AB于點(diǎn)G,H,過E做EM⊥BC于點(diǎn)M,過G作GN⊥AB于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)t≠2時(shí),求證:△EMF≌△GNH;
(2)順次連接E、H、F、G,設(shè)四邊形EHFG的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=2x與反比例函數(shù)y= (k≠0,x>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,a),B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn),直線OB與x軸的夾角為α,tanα= .
(1)求k的值.
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(3)設(shè)點(diǎn)P(m,0),使△PAB的面積為2,求m的值.
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