Question

【題目】將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，連接得，又將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段（如圖①）．

求的大小（結(jié)果用含的式子表示）；

又將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接（如圖②）求；

連接、，試探究當(dāng)為何值時(shí)，．

Answer 1

【答案】 ； ； 當(dāng)為時(shí)，．

【解析】

（1）由于線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°）得到線段AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=∠ACB=90°﹣α，再由線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC﹣∠CBD進(jìn)行計(jì)算；

（2）由線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AE，∠BAE=60°，則AC=AE，∠CAE=60°﹣α，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠ACE=∠AEC=60°+α，然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE計(jì)算得到∠BCE=150°；

（3）由線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BD，∠CBD=60°，則可判斷△BCD為等腰直角三角形，則∠BCD=60°，CD=BC，所以∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC為等腰直角三角形，則CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”證明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以α=∠BAE=30°．

（1）∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°）得到線段AC，∴AB=AC，∠BAC=α，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣α）=90°﹣α．

∵線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，∴∠CBD=60°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=90°﹣α﹣60°=30°﹣α（0°＜α＜60°）；

（2）∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BE，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴AC=AE，∠CAE=60°﹣α，∴∠ACE=∠AEC=（180°﹣60°+α）=60°+α，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°﹣α+60°+α=150°；

（3）如圖②．

∵線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，∴BC=BD，∠CBD=60°，∴△BCD為等邊三角形，∴∠BCD=60°，CD=BC，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=150°﹣60°=90°．

∵∠DEC=45°，∴△DEC為等腰直角三角形，∴CE=CD，∴CB=CE．

在△ABC和△AEC中，∵，∴△ABC≌△AEC（SSS），∴∠BAC=∠EAC，∴∠BAC=∠BAE=30°，即α=30°．

故當(dāng)α為30°時(shí)，∠DEC=45°．