Question

如圖七，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)A(6, 0)，B(0, 8)，C(-4, 0)，點(diǎn)M、N分別為線段AC和

射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自C向A方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自A向B方向作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P．

(1)求證：MN∶NP為定值；

(2)若△BNP與△MNA相似，求CM的長(zhǎng)；

(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的長(zhǎng)．

Answer 1

證明：(1) 過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，…………………1分

設(shè)AN=5k，得：AH=3k，CM=2k

①　當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，點(diǎn)N在線段AB上時(shí)：

   ∴OH=6-3k，OM=4-2k， ∴MH=10-5k，

   ∵PO∥NH，∴………………2分

   ②　當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)：

    ∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，

    ∵PO∥NH∴，………………2分

解：(2) 當(dāng)△BNP與△MNA相似時(shí)：

①　當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，

∴△BNP∽△MNA△∽BOA，

，，， ……2分

②　當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，只可能是∠NBP=∠NMA，∴∠PBA=∠PMO，

∵

∴，矛盾∴不成立. ………………………2分

(3) ∵，，∴，，

①　當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，，

(ⅰ) ，，， ………………………1分

(ⅱ) ，則，∵，矛盾∴不成立…1分

(ⅲ) ，則

∵,  ，∴

又∵，可證△為等腰三角形，

∴，∴，∴，……………………………1分

②　當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，，

(ⅰ) ，，， ………………………1分

(ⅱ) 或∵，∴不成立．