Question

8．如圖1，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE，AE、CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ACE≌△CBD；
（2）過A作AG⊥CD于G，求證：AF=2FG；
（3）如圖2，若BF⊥AF，求$\frac{CF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可證明．
（2）由∠AFG=∠CAF+∠ACF可以證明∠AFG=60°，在RT△AFG中利用30度性質(zhì)即可證明．
（3）如圖2中，延長FD到M，使得∠FAM=60°，連接BM得等邊三角形△AFM，利用△CAF≌△BAM得CF=BM，再證明∠FBM=90°就可以了．

解答 （1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACE=∠B=60°，
在△ACE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACE=∠B}\\{CE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，
∵∠AFG=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG．
（3）如圖2中，延長FD到M，使得∠FAM=60°，連接BM．
∵∠AFM=∠FAM=∠AMF=60°，
∴△AFM是等邊三角形，
∴AF=FM=AM，
∵∠CAB=∠FAM=60°，
∴∠CAF=∠MAB，
在△CAF和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAF=∠BAM}\\{FA=MA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAM，
∴CF=BM，
∵AF⊥BF，∠AFD=60°，
∴∠MFB=30°，
∵∠AMD=∠ABC=60°，
∴AMBC四點(diǎn)共圓，
∴∠AMB+∠ACB=180°，
∴∠FMB=60°，
∴∠FBM=180°-∠MFB-∠FMB=90°，
∴FM=2BM，
∴AF=2CF
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓，直角三角形中30度角性質(zhì)等知識，構(gòu)造全等三角形是解決第三問的關(guān)鍵．