Question

【題目】如圖，在線段AB上任取一點(diǎn)M（）、把線段MB繞M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至MC.連接AC，作AC的垂直平分線交AM于N點(diǎn)，此時(shí)AN、MN、BM為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，我們稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn).如下右圖，已知：點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，，△ABC、△MND分別是以AB、MN為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的同側(cè)，若MN=3，連接CD，則CD=______.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖中，連接CM、CN，將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，將△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFE只要證明四邊形EFDN是平行四邊形以及MN=NF就可以了．

如圖，連接CM、CN，將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，將△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFE．

∵△ABC，△DMN都是等腰直角三角形，

∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°

∴DM∥AC，DN∥BC，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴EF∥BC，

∴EF∥BC∥ND，

∵DM=DN=EF，

∴四邊形EFND是平行四邊形，

∴ED=NF，

由∠NBF=∠FBC+∠CBA=90°

則=+，

點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，（）

則=+，

又AM=BF，

可知MN=NF，

∴MN=ED，

在RT△CDE中，∵CD=CE，∠DCE=90°，

DE=CD，

MN=CD，

MN=3，

則CD==.