【題目】對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m,如果m=k(k+1),其中k是正整數(shù),則稱m為“矩?cái)?shù)”,k 為m的最佳拆分點(diǎn).例如,56=7×(7+1),則56是一個(gè)“矩?cái)?shù)”,7為56的最佳拆分點(diǎn).
(1)求證:若“矩?cái)?shù)”m是3的倍數(shù),則m一定是6的倍數(shù);
(2)把“矩?cái)?shù)”p與“矩?cái)?shù)”q的差記為 D(p,q),其中p>q,D(p,q)>0.例如,20=4×5,6=2×3,則 D(20,6)=20﹣6=14.若“矩?cái)?shù)”p的最佳拆分點(diǎn)為t,“矩?cái)?shù)”q的最佳拆分點(diǎn)為s,當(dāng) D(p,q)=30時(shí),求 的最大值.

【答案】
(1)證明:若“矩?cái)?shù)”m=k(k+1)是3的倍數(shù),則k(k+1)是3的倍數(shù),k是正整數(shù),

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),k+1是偶數(shù),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù);

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù),

綜上所述,若“矩?cái)?shù)”m是3的倍數(shù),則m一定是6的倍數(shù)


(2)解:根據(jù)題意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)﹣s(s+1)=30,

即t2+t﹣s2﹣s=30,

∴(t﹣s)(t+s+1)=30,

∵t,s是正整數(shù),t>s,

∴t﹣s,t+s+1是正整數(shù),且t+s+1>t﹣s,

∵30=1×30=2×15=3×10=5×6,

,

解得: ,

∵t,s是正整數(shù),

∴符合條件的是:

= = ,

,

的最大值是


【解析】(1)連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)必是一奇數(shù),一偶數(shù),可分類證明;(2)可把新定義的規(guī)則轉(zhuǎn)化為已知的規(guī)則,用已知代數(shù)式表示新運(yùn)算法則,根據(jù)30的因數(shù)分解規(guī)則,求出最大值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解因式分解的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí),掌握因式分解是整式乘法的逆向變形,可以應(yīng)用與數(shù)字計(jì)算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】二次函數(shù) ,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表:

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

4

0

-2

-2

0

4

下列說法正確的是( )
A.拋物線的開口向下
B.當(dāng)x>-3時(shí),y隨x的增大而增大
C.二次函數(shù)的最小值是-2
D.拋物線的對(duì)稱軸x=

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【題目】位于南岸區(qū)黃桷埡的文峰塔,有著“平安寶塔”之稱.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)對(duì)其高度 AB進(jìn)行了測(cè)量.如圖,他們從塔底A的點(diǎn)B出發(fā),沿水平方向行走了13米,到達(dá)點(diǎn)C,然后沿斜坡CD繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)D處,已知DC=BC.在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂A的仰角為42°(點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)).其中測(cè)角儀及其支架DE高度約為0.5米,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么文峰塔的高度AB約為( )(sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)

A.22.5 米
B.24.0 米
C.28.0 米
D.33.3 米

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【題目】如圖,在四邊形中,已知,.

1)求的度數(shù);

2)求四邊形的面積.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABOC,A(0,4),B(ab),C(c0),并且a,c滿足c+10.一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)在線段OC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,O同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

1)求B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCB是平行四邊形?

3)點(diǎn)D為線段OC的中點(diǎn),當(dāng)t為何值時(shí),OPD是等腰三角形?直接寫出t的所有值.

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【題目】從﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,34,5這九個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),記為a,則數(shù)a使關(guān)于x的不等式組至少有四個(gè)整數(shù)解,且關(guān)于x的分式方程1有非負(fù)整數(shù)解的概率是(  )

A.B.C.D.

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【題目】為響應(yīng)雙十二購物狂歡節(jié)活動(dòng),某零食店推出了甲、乙、丙三類餅干禮包,已知甲、乙、丙三類禮包均由、三種餅干搭配而成,每袋禮包的成本均為、、三種餅干成本之和.每袋甲類禮包有5種餅干、2種餅干、8種餅干;每袋丙類禮包有7種餅干、1種餅干、4種餅干.已知甲每袋成本是該袋中種餅干成本的3倍,利潤率為,每袋乙的成本是其售價(jià)的,利潤是每袋甲利潤的;每袋丙禮包利潤率為.若該網(wǎng)店1212日當(dāng)天銷售甲、乙、丙三種禮包袋數(shù)之比為,則當(dāng)天該網(wǎng)店銷售總利潤率為__________.

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【題目】如圖,RtABC中,∠ACB90°,點(diǎn)MBA延長線上一點(diǎn),∠ABC的平分線BE和∠CAM的平分線AD相交于點(diǎn)P,分別交ACBC的延長線于E,D.過PPFADAC的延長線于點(diǎn)H,交BC的延長線于點(diǎn)F,連接AFDH于點(diǎn)G,則下列結(jié)論:①∠APB45°;②PFPA;③DGAP+GH;④BDAHAB.其中正確的是_____(填序號(hào)).

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【題目】如圖,一個(gè)長5m的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為4m,如果梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點(diǎn).

(1)求梯子底端B外移距離BD的長度;

(2)猜想CE與BE的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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