【題目】如圖,在平面直角坐標系中,AB∥OC,A(0,﹣4),B(a,b),C(c,0),并且a,c滿足c=+10.一動點P從點A出發(fā),在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動;動點Q從點O出發(fā)在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動,點P,Q分別從點A,O同時出發(fā),當點P運動到點B時,點Q隨之停止運動,設運動時間為t(秒).
(1)求B,C兩點的坐標;
(2)當t為何值時,四邊形PQCB是平行四邊形?
(3)點D為線段OC的中點,當t為何值時,△OPD是等腰三角形?直接寫出t的所有值.
【答案】(1)B(13,﹣4),C(10,0);(2)當t為3s時,四邊形PQCB是平行四邊形;(3)當t為s或1s或s時,△OPD是等腰三角形
【解析】
(1)根據二次根式的性質得出a,b的值進而得出答案;
(2)由題意得:QP=2t,QO=t,PB=21﹣2t,QC=16﹣t,根據平行四邊形的判定可得21﹣2t=16﹣t,再解方程即可;
(3)當OP=OD=5時,當DP=OD=5時,當DP=OP時,根據等腰三角形的性質和勾股定理即可得到結論.
(1)∵c=
∴,
解得a=13,
∴c=10,
∵AB∥OC,A(0,-4),
∴b=-4,
故B(13,-4),C(10,0);
(2)由題意得:AP=2t,QO=t,
則:PB=13-2t,QC=10-t,
∵當PB=QC時,四邊形PQCB是平行四邊形,
∴13-2t=10-t,
解得:t=3,
∴當t為3s時,四邊形PQCB是平行四邊形;
(3)∵點D為線段OC的中點,
∴OD= OC=5,
當OP=OD=5時,△OPD是等腰三角形,
∵OA=4,
∴AP=3=2t,
∴t=,
當DP=OD=5時,△OPD是等腰三角形,
如圖,過P作PH⊥OD于H,
則PH=OA=4,AP=OH,
∵DH==3,
∴AP=OH=2=2t,
∴t=1,
當DP=OP時,△OPD是等腰三角形,
如圖,過P作PH⊥OD于H,
則OH=DH=,AP=OH==2t,
∴t=,
綜上所述,當t為當t為s或1s或 s時,△OPD是等腰三角形.
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【題目】如圖.已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD,現計劃在該空地上種植草皮,經測量∠ADC=90°,AD=6m,CD=8m,BC=AB=13m,若每平方米草皮需200元,則在該空地上種植草皮共需多少錢?
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【題目】在平面直角坐標系中,的位置如圖所示.
(1)畫出先向右平移3個單位,再向下平移6個單位后得到的,并寫出,各頂點的坐標;
(2)畫出繞點逆時針旋轉后得到的,并寫出,各頂點的坐標.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E在邊CD上,將該矩形沿AE折疊,使點D落在邊BC上的點F處,過點F作FG∥CD,交AE于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形DEFG為菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求的值.
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【題目】如圖,在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子,當它靠在一側的墻上時,梯子的頂端在B點,當它靠在另一側的墻上時,梯子的頂端在D點,已知∠BAC=60°,點B到地面的垂直距離BC=5米,DE=6米.
(1)求梯子的長度;
(2)求兩面墻之間的距離CE.
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【題目】對任意一個正整數m,如果m=k(k+1),其中k是正整數,則稱m為“矩數”,k 為m的最佳拆分點.例如,56=7×(7+1),則56是一個“矩數”,7為56的最佳拆分點.
(1)求證:若“矩數”m是3的倍數,則m一定是6的倍數;
(2)把“矩數”p與“矩數”q的差記為 D(p,q),其中p>q,D(p,q)>0.例如,20=4×5,6=2×3,則 D(20,6)=20﹣6=14.若“矩數”p的最佳拆分點為t,“矩數”q的最佳拆分點為s,當 D(p,q)=30時,求 的最大值.
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【題目】某商貿公司有、兩種型號的商品需運出,這兩種商品的體積和質量分別如下表所示:
體積(立方米/件) | 質量(噸/件) | |
型商品 | 0.8 | 0.5 |
型商品 | 2 | 1 |
(1)已知一批商品有、兩種型號,體積一共是20立方米,質量一共是10.5噸,求、兩種型號商品各有幾件?
(2)物資公司現有可供使用的貨車每輛額定載重3.5噸,容積為6立方米,其收費方式有以下兩種:
①按車收費:每輛車運輸貨物到目的地收費600元;
②按噸收費:每噸貨物運輸到目的地收費200元.
現要將(1)中商品一次或分批運輸到目的地,如果兩種收費方式可混合使用,商貿公司應如何選擇運送、付費方式,使其所花運費最少,最少運費是多少元?
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【題目】如果一個多位自然數的任意兩個相鄰數位上,右邊數位上的數總比左邊數位上的數大1,則我們稱這樣的自然數叫“美數”,例如:123,3456,67,…都是“美數”.
(1)若某個三位“美數”恰好等于其個位的76倍,這個“美數”為 .
(2)證明:任意一個四位“美數”減去任意一個兩位“美數”之差再減去1得到的結果定能被11整除;
(3)如果一個多位自然數的任意兩個相鄰數位上,左邊數位上的數總比右邊數位上的數大1,則我們稱這樣的自然數叫“妙數”,若任意一個十位為為整數)的兩位“妙數”和任意一個個位為為整數)的兩位“美數”之和為55,則稱兩位數為“美妙數”,并把這個“美妙數”記為,則求的最大值.
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【題目】如圖,邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點,點A在x軸的正半軸上,點B在第一象限.點P從點O出發(fā),沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,當點P到達點A時停止運動,設點P運動的時間是t秒.將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C,點C隨點P的運動而運動,連接CP、CA.過點P作PD⊥OB于D點
(1)直接寫出BD的長并求出點C的坐標(用含t的代數式表示)
(2)在點P從O向A運動的過程中,△PCA能否成為直角三角形?若能,求t的值.若不能,請說明理由;
(3)點P從點O運動到點A時,點C運動路線的長是多少?
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