Question

如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上，OQ=QB=1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．

（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求△ABC的面積（圖1）；

（2）設(shè)∠AOB=α，當(dāng)線段AB、與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求α的范圍（圖2，直接寫(xiě)出答案）；

（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AO⊥PM于點(diǎn)N，求CM的長(zhǎng)度（圖3）．

Answer 1

解：（1）連接OA，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．

∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴OA⊥AB．

∴∠OAB=90°．

∵OQ=QB=1，

∴OA=1．

∴AB=

=

=．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=，∠CAB=60°．

∵sin∠HAB=，

∴HB=AB•sin∠HAB

=×

=．

∴S_△ABC=AC•BH

=××

=．

∴△ABC的面積為．

（2）①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，

線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；

②當(dāng)線段A₁B所在的直線與圓O相切時(shí)，如圖2所示，

線段A₁B與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)OA₁⊥BA₁，OA₁=1，OB=2，

∴cos∠A₁OB==．

∴∠A₁OB=60°．

∴當(dāng)線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，

α的范圍為：0°≤α≤60°．

（3）連接MQ，如圖3所示．

∵PQ是⊙O的直徑，

∴∠PMQ=90°．

∵OA⊥PM，

∴∠PDO=90°．

∴∠PDO=∠PMQ．

∴△PDO∽△PMQ．

∴==

∵PO=OQ=PQ．

∴PD=PM，OD=MQ．

同理：MQ=AO，BM=AB．

∵AO=1，

∴MQ=．

∴OD=．

∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，

∴PD=．

∴PM=．

∴DM=．

∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，

∴AM=

=

=．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．

∵BM=AB，

∴AM=BM．

∴CM⊥AB．

∵AM=，

∴BM=，AB=．

∴AC=．

∴CM=

=

=．

∴CM的長(zhǎng)度為．