Question

18．如圖，在同一平面上，等腰直角三角形AOB的與等腰三角形ABC拼在一起，使Rt△AOB斜邊AB與△ABC的底邊 AB完全重合，且頂點O，C分別在AB的兩旁，連接OC與AB相交于點G，∠AOB=90°，OA=OB=3$\sqrt{2}$，AC=BC=5．平行于線段AB的直線EF從O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿OC方向勻速平移到C，分別交OA，OB（或AC，BC）于E、F，設(shè)直線EF移動的時間為t秒．
（1）填空：∠AGO=90°，OC=7；
（2）如圖，在四邊形AOBC的內(nèi)部能否截出以EF為邊的面積最大的矩形EFDH？（頂點E，F(xiàn)，D，H分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點重合） 若能，求出矩形EFDH的最大面積，若不能，請說明理由．
（3）設(shè)線段OC的中點為Q，在整個運動過程中，求當(dāng)t為何值時，△EFQ為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的判定得到OC是線段AB的垂直平分線，求出∠AGO，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)計算求出OC；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出EF、DF，根據(jù)矩形的面積公式和二次函數(shù)的最值的求法解答即可；
（3）分點P在線段OQ上和點P在線段CQ上兩種情況，根據(jù)直角三角形的判定計算即可．

解答 解：（1）∵OA=OB，AC=BC，
∴OC是線段AB的垂直平分線，
∴∠AGO=90°，
∵∠AOB=90°，OA=OB=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6，
∵AC=BC=5，AB=6，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=4，
∵∠AOB=90°，BG=GA，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OC=3+4=7，
故答案為：90°；7；
（2）∵EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OG}$=$\frac{EF}{AB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{EF}{6}$，
解得，EF=2t，
則HG=2t，BH=3-2t，
∵FD∥OC，
∴△BFD∽△BOC，
∴$\frac{BH}{BG}$=$\frac{DF}{OC}$，即$\frac{3-2t}{3}$=$\frac{DF}{7}$，
解得，DF=$\frac{21-14t}{3}$，
∴矩形EFDH的面積為：2t×$\frac{21-14t}{3}$=-$\frac{28}{3}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{21}{4}$，
∴矩形EFDH的最大面積為$\frac{21}{4}$；
（3）當(dāng)點P在線段OQ上時，OP=$\frac{1}{2}$EF時，△EFQ為直角三角形，
即3.5-t=$\frac{1}{2}$×2t，
解得，t=$\frac{7}{4}$；
如圖2，當(dāng)點P在線段CQ上時，OP=$\frac{1}{2}$EF時，△EFQ為直角三角形，
∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CP}{CG}$，即$\frac{EF}{6}$=$\frac{7-t}{4}$，
解得，EF=$\frac{21-3t}{2}$，
則t-$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{21-3t}{2}$，
解得t=5，
綜上所述，t=$\frac{7}{4}$或5時，△EFQ為直角三角形．

點評 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值的求法，掌握到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．