Question

9．如圖①，現(xiàn)有一張三角形ABC紙片，沿BC邊上的高AE所在的直線翻折，使得點(diǎn)C與BC邊上的點(diǎn)D重合．
（1）填空：△ADC是等腰三角形；
（2）若AB=15，AC=13，BC=14，求BC邊上的高AE的長(zhǎng)；
（3）如圖②，若∠DAC=90°，試猜想：BC、BD、AE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊得到AD=AC，所以△ADC是等腰三角形；
（2）設(shè)CE=x，利用勾股定理得到方程13²-x²=15²-（14-x）²解得：x=5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；
（3）猜想BC、BD、AE之間的數(shù)量關(guān)系為：BC-BD=2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD邊上的高，所以△AED與△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD=2AE．由BC-BD=CD，即可解答．

解答 解：（1）∵三角形ABC紙片，沿BC邊上的高AE所在的直線翻折，使得點(diǎn)C與BC邊上的點(diǎn)D重合．
∴AD=AC，
∴△ADC是等腰三角形；
故答案為：等腰．
（2）設(shè)CE=x，則BE=14-x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE²=AC²-CE²，
∴AE²=13²-x²
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE²=AB²-BE²，
∴AE²=15²-（14-x）²
∴13²-x²=15²-（14-x）²
解得：x=5，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{A{C^2}-C{E^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=\sqrt{144}=12$．
（3）猜想BC、BD、AE之間的數(shù)量關(guān)系為：BC-BD=2AE．
證明如下：
由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形
又AE是CD邊上的高，
∴DE=CE，$∠DAE=∠EAC=\frac{1}{2}∠DAC=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴△AED與△AEC都是等腰直角三角形，
∴DE=AE=EC，即CD=2AE．
∵BC-BD=CD
∴BC-BD=2AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的根據(jù)是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的應(yīng)用．