【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,﹣3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.

(1)b= , c= , 點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)-2;-3;(﹣1,0)
(2)

解:存在.

理由:如圖所示:

①當(dāng)∠ACP1=90°.

由(1)可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0).

設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3.

∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k﹣3=0,解得k=1,

∴直線AC的解析式為y=x﹣3.

∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3.

∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=1,x2=0(舍去),

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,﹣4).

②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí).

設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b.

∵將x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3.

∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3.

∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=﹣2,x2=3(舍去),

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣2,5).

綜上所述,P的坐標(biāo)是(1,﹣4)或(﹣2,5).


(3)

解:如圖2所示:連接OD.

由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.

根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD最短,即EF最短.

由(1)可知,在Rt△AOC中,

∵OC=OA=3,OD⊥AC,

∴D是AC的中點(diǎn).

又∵DF∥OC,

∴DF= OC= .DF= OC=

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-

,解得:

∴當(dāng)EF最短時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是:( ,- )或( ,- ).


【解析】解:(1)∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,解得:b=﹣2,c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,0).
所以答案是:﹣2;﹣3;(﹣1,0).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和垂線段最短的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時(shí),圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時(shí),圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時(shí),圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn).;連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短;現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水,牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)ADBCD,設(shè)BD=x,用含x的代數(shù)式表示CD,則CD=________;

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(2)若點(diǎn)P從B出發(fā)沿y軸負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng),速度每秒2個(gè)單位,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒,△AOP的面積為S,求S與t的關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,若S△AOP:S△ABP=1:3,且S△AOP+S△ABP=S△AOB,在線段AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)Q,使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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1OA= cmOB= cm

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當(dāng)t為何值時(shí),2OP﹣OQ=8

當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā),以3cm/s的速度也向右運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)Q后立即返回,以同樣的速度向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng),遇到點(diǎn)P后立即返回,又以同樣的速度向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),如此往返,直到點(diǎn)PQ停止時(shí),點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng).在此過(guò)程中,點(diǎn)M行駛的總路程為 cm

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

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3)若AC=,當(dāng)CD=1時(shí),請(qǐng)求出DE的長(zhǎng).

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