Question

19．已知：在平面直角坐標(biāo)系中．放入一塊等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4.0）．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）D為△ABC內(nèi)-點(diǎn)（AD＞2），連AD．并以AD為邊作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．連CD、BE，試判斷線段CD、BE的位置及數(shù)量關(guān)系，并給出你的證明；
（3）旋轉(zhuǎn)△ADE，使D點(diǎn)剛好落在x軸的負(fù)半軸，連CE交y軸于M．求證：①EM=CM；②BD=2AM．

Answer 1

分析 （1）過(guò)C作CD⊥y軸于D，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ACD=∠OAB，推出△ACD≌△ABO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=AO，AD=OB，由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)（4.0），得到OA=2，OB=4，即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)CD交AB于F，交BE于G，通過(guò)△ABE≌△CAD，得到∠ACD=∠ABE，CD=BE，由于∠ACD+∠AFC=90°，等量代換得到∠ABE+∠AFC=90°，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得到∠AFC=∠BFG，于是得到∠ABE=∠BFG=90°，即可得到結(jié)論；
（3）①如圖3，過(guò)C作CP⊥y軸于P，過(guò)E作EQ⊥y軸于Q，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAO=∠ACP，推出△ABO≌△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO=CP，AO=EQ，于是得到CP=EQ，證得△EQM≌△CPM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②如圖4，在y軸上截取MK=AM，連接CK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CK=AE，∠MKC=∠MAE，推出△ABD≌△ACK，由全等三角形的性質(zhì)得到BD=AK，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作CD⊥y軸于D，
∴∠CDA=∠AOB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠OAB=90°，
∴∠ACD=∠OAB，
在△ACD與△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AOB}\\{∠ACD=∠OAB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABO，
∴CD=AO，AD=OB，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4.0），
∴OA=2，OB=4，
∴CD=2，OD=6，
∴C（2，6）；

（2）CD⊥BE，CD=BE，
如圖2，延長(zhǎng)CD交AB于F，交BE于G，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE，
在△ABE與△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，
∵∠ACD+∠AFC=90°，
∴∠ABE+∠AFC=90°，
∵∠AFC=∠BFG，
∴∠ABE=∠BFG=90°，
∴∠BGF=90°，
∴CD⊥BE；

（3）①如圖3，過(guò)C作CP⊥y軸于P，過(guò)E作EQ⊥y軸于Q，
∴∠APC=∠AQE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACP，
在△ABO與△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACP}\\{∠AOB=∠APC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACP，
∴AO=CP，
同理△ADO≌△AEQ，
∴AO=EQ，
∴CP=EQ，
在△CPM與△EQM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPM=∠EQM=90°}\\{∠CMP=∠EMQ}\\{CP=EQ}\end{array}\right.$，
∴△EQM≌△CPM，
∴CM=EM，
②如圖4，在y軸上截取MK=AM，連接CK，
在△AME與△CMK中，$\left\{\begin{array}{l}{EM=CM}\\{∠AME=∠CMK}\\{AM=KM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CMK，
∴CK=AE，∠MKC=∠MAE，
∵AE=AD，∠ACK=180°-∠CKM-∠CAK，∠BAD=180-∠EAM-∠CAK，
∴CK=AD，∠ACK=∠BAD，
在△ABD與△ACK中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACK}\\{AD=CK}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACK，
∴BD=AK，
∵AK=2AM，
∴BD=2AM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．