Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

4

x2+

3

2

x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．
（1）點A的坐標(biāo)為

 

，點C的坐標(biāo)為

 

；
（2）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應(yīng)的點P有且只有2個？

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點A的縱坐標(biāo)，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此時A點符合E點的要求，即此時A、E重合；
②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E點橫坐標(biāo)為點D的橫坐標(biāo)加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點E的坐標(biāo)；
③CD=CE，此時CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長，從而得到點E的坐標(biāo)．
（3）過P作x軸的垂線，交AC于Q，交x軸于H；設(shè)出點P的橫坐標(biāo)（設(shè)為m），根據(jù)拋物線和直線AC的解析式，即可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到PQ的長，然后分兩種情況進行討論：
①P點在第一象限時，即0＜m＜8時，可根據(jù)PQ的長以及A、C的坐標(biāo)，分別表示出△APQ、△CPQ的面積，它們的面積和即為△APC的面積，由此可得到S的表達式，通過配方即可得到S的取值范圍；
②當(dāng)P在第二象限時，即-2＜m＜0時，同①可求得△APQ、△CPQ的面積，此時它們的面積差為△APC的面積，同理可求得S的取值范圍；根據(jù)兩個S的取值范圍，即可判斷出所求的結(jié)論．

解答：解：（1）在二次函數(shù)中令x=0得y=4，
∴點A的坐標(biāo)為（0，4），
令y=0得：-

1

4

x2+

3

2

x+4=0，
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴點B的坐標(biāo)為（-2，0），點C的坐標(biāo)為（8，0）．

（2）易得D（3，0），CD=5，
設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

；
∴y=-

1

2

x+4；
①當(dāng)DE=DC時，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E₁（0，4）；
②過E點作EG⊥x軸于G點，
當(dāng)DE=EC時，由DG=

8-3

2

=

5

2

，
把x=OD+DG=3+

5

2

=

11

2

代入到y(tǒng)=-

1

2

x+4，求出y=

5

4

，
可得E₂（

11

2

，

5

4

）；
③當(dāng)DC=EC時，如圖，過點E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴

EG

OA

=

CG

OC

=

CE

AC

，又OA=4，OC=8，則AC=4

5

，DC=EC=5，
∴EG=

5

，CG=2

5

，
∴E₃（8-2

5

，

5

）；
綜上所述，符合條件的E點共有三個：E₁（0，4）、E₂（

11

2

，

5

4

）、E₃（8-2

5

，

5

）．

（3）如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點Q；
設(shè)P（m，-

1

4

m²+

3

2

m+4），則Q（m，-

1

2

m+4）．
①當(dāng)0＜m＜8時，
PQ=（-

1

4

m²+

3

2

m+4）-（-

1

2

m+4）=-

1

4

m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=

1

2

×8×（-

1

4

m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②當(dāng)-2≤m＜0時，
PQ=（-

1

2

m+4）-（-

1

4

m²+

3

2

m+4）=

1

4

m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=

1

2

×8×（

1

4

m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴當(dāng)0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，-2＜m＜0中m有一個值，此時有三個；
當(dāng)16＜S＜20時，-2＜m＜0中m只有一個值；
當(dāng)S=16時，m=4或m=4-4

2

這兩個．
故當(dāng)S=16時，相應(yīng)的點P有且只有兩個．

點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法、等腰三角形的構(gòu)成條件、圖形面積的求法等知識，（3）題的解題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于理解題意．