Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，半徑為1的動(dòng)圓圓心M從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BD方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤2.5），以點(diǎn)N為圓心，NB的長(zhǎng)為半徑的⊙N與BD，AB的交點(diǎn)分別為E，F，連結(jié)EF，ME．

（1）①當(dāng)t＝　 　秒時(shí)，⊙N恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M；②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙M與△ABD的邊相切時(shí)，t＝　 　秒；

（2）當(dāng)⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，①求N到AD的距離；②求⊙N被AD截得的弦長(zhǎng)；

（3）若⊙N與線段ME只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，②1或；（2）①，②；（3）0＜t≤或＜t≤

【解析】

（1）①⊙N恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M即NM=NF=BN，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB于G，連接NF，利用等腰三角形性質(zhì)即可求得；②⊙M與△ABD的邊相切可以有兩種情況：⊙M與AD相切或⊙M與BD相切，利用切線性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）①過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P，利用相似三角形性質(zhì)即可；②由垂徑定理可得：GH=2GP，利用勾股定理可求得GP；

（3）⊙N與線段EM只有一個(gè)公共點(diǎn)，可以有兩種情況：①點(diǎn)M在⊙N的外部，②點(diǎn)M在⊙N的內(nèi)部．

（1）①如圖1，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB于G，連接NF，AM=t，BM=3﹣t，

∵⊙N恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

∴點(diǎn)F與M重合，即：BF=BM=3﹣t，

∵NB=NF=t，

∴BG==（3﹣t）

∵矩形ABCD

∴∠BAD=90° AD=BC=4

∴BD===5

∵NG⊥AB

∴∠BGN=90°=∠BAD

∴NG∥AD

∴△BNG∽△BDA

∴==，即5×（3﹣t）=3t，解得：t=

故答案為：

②當(dāng)⊙M與AD相切時(shí)，AM=1，∴t=1

當(dāng)⊙M與BD相切時(shí)，EM⊥BD，且ME=1，∵sin∠ABD===

∴4（3﹣t）=5，解得t=

故答案為：1或；

（2）①過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P，當(dāng)⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，AM=AB﹣MB=2

∴t=2

∴BN=2，DN=BD﹣BN=3

∵NP∥AB

∴△NDP∽△BDA

∴=

∴NP=

②設(shè)⊙N與AD交于G，H，連接NG，則NG=NB=2，

在Rt△GNP中，由勾股定理可得：GP==

∴GH=2GP=

（3）當(dāng)點(diǎn)M在⊙N的外部時(shí)，線段EM與⊙N只有1個(gè)公共點(diǎn)，則∠BEM≥90°，

若∠BEM=90°，則==，即5BE=3BM

∴5×2t=3（3﹣t），解得：t=

∴0＜t≤

當(dāng)點(diǎn)M在⊙N的內(nèi)部時(shí)，線段EM與⊙N也只有1個(gè)公共點(diǎn)，由①知，點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí)，t=，

∴＜t≤

故t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤．