Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，-8），點(diǎn)B、C在x軸上，tan∠ABC=，AB=AC，AH⊥BC于H，D為AC邊上一點(diǎn)，BD交AH于點(diǎn)M，且△ADM與△BHM的面積相等．
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）求過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求出拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)E且平行于AB的直線l交y軸于點(diǎn)G，若將（2）中的拋物線沿直線l平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為E′（點(diǎn)E′在y軸右側(cè)）．是否存在這樣的拋物線，使△E′FG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)頂點(diǎn)E′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵S_△ADM=S_△BHM，∴S_△ACH=S_△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中點(diǎn)，∴D是AC中點(diǎn)．
∵AH=8，tan∠ABC=，∴BH=CH=6，
∵A的坐標(biāo)為（12，-8），∴B、C坐標(biāo)分別為（18，0）、（6，0）．
∴D的坐標(biāo)為（9，-4）．

（2）設(shè)經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-6）（x-18），
∵拋物線過D點(diǎn)，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a=．
∴拋物線的解析式為y=（x-6）（x-18），頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（12，-）．

（3）設(shè)直線l的解析式為y=x+b，∵直線過點(diǎn)E，∴b=-，
∴G的坐標(biāo)為（0，-）．
∴設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=（x-m）²+m-
∴F的坐標(biāo)為（0，m²+m-），E′的坐標(biāo)為（m，m-），
若E′G=E′F，則m²+m-+=2×m，
∴m=0（舍去），m=9，此時(shí)E′的坐標(biāo)為（9，-）．
若E′G=GF，則m=m²+m-+
∴m=0（舍去），m=，此時(shí)E′的坐標(biāo)為（，-）．
若E′F=GF，不存在．
綜上所述E′點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，-）或（，-）．
分析：（1）要求點(diǎn)D的坐標(biāo)，可以先確定點(diǎn)D的位置，由△ADM、△BHM的面積相等，它們加上一個(gè)公共三角形△AMB后，可得出△ADB、△AHB的面積相等，顯然D、H兩點(diǎn)到直線AB的距離相等，即DH∥AB，而H是BC的中點(diǎn)，那么點(diǎn)D應(yīng)該是AC的中點(diǎn)，所以只要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．首先由點(diǎn)A坐標(biāo)能得到AH的長(zhǎng)，在Rt△AHB中，已知AH的長(zhǎng)以及∠ABH的正切值，通過解直角三角形即可求出BH的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易知BH=HC，在得出OH（點(diǎn)A橫坐標(biāo)的絕對(duì)值）、CH的長(zhǎng)后，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，由此得解．
（2）利用待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式，由配方法或公式法能求出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）首先表達(dá)出平移后的函數(shù)解析式，能得到點(diǎn)E′、G的坐標(biāo)；再由直線l與AB平行，求出直線l的解析式（兩條直線平行，則它們的斜率相同），能得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；若△E′FG為等腰三角形，需要考慮到三種情況：
①E′F=E′G；此時(shí)E′在線段FG的中垂線上，那么點(diǎn)E′縱坐標(biāo)應(yīng)該是點(diǎn)F、G兩點(diǎn)縱坐標(biāo)和的一半，據(jù)此求解；
②E′G=FG；FG可由兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值求得，而E′G可由點(diǎn)E橫坐標(biāo)以及∠OGB的正弦值求得，列出等式后即可確定點(diǎn)E′的坐標(biāo)；
③E′F=FG；這種情況下，點(diǎn)F必在E′下方，顯然這種情況不符合拋物線圖象的特點(diǎn)，因此這種情況不予考慮．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圖形面積的解法、函數(shù)解析式的確定以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)；最后一題中，在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，要分類討論．