Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，以O(shè)A為直徑作⊙P，C是⊙P上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)y＝ x＋ 與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，連接AC并延長(zhǎng)與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0， )．

（1）求證：OE＝CE；
（2）請(qǐng)判斷直線(xiàn)CD與⊙P位置關(guān)系，證明你的結(jié)論，并求出⊙P半徑的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接OC，

∵直線(xiàn)y＝ x＋ 與y軸相交于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0， )，即OE＝ .

又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0， )，

∴OB＝ ，

∴BE＝OE＝ ，

又∵OA是⊙P的直徑，

∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，

∴OE＝CE.

（2）直線(xiàn)CD是⊙P的切線(xiàn)．

證明：連接PC，PE，由(1)可知OE＝CE.

在△POE和△PCE中，

∴△POE≌△PCE，

∴∠POE＝∠PCE.

又∵x軸⊥y軸，

∴∠POE＝∠PCE＝90°，

∴PC⊥CE，即PC⊥CD.

又∵直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)半徑PC的外端點(diǎn)C，

∴直線(xiàn)CD是⊙P的切線(xiàn)．

∵對(duì)y＝ x＋ ，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－6，即OD＝6，

在Rt△DOE中，DE＝ ＝ ＝ ，

∴CD＝DE＋EC＝DE＋OE＝ ＋ ＝ .

設(shè)⊙P的半徑為r，

則在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2＋CD2＝PD2，

即r2＋(6 )2＝(6＋r)2，

解得r＝6，即⊙P半徑的值為6.

【解析】（1）連接OC，利用已知條件計(jì)算出CE和OB的長(zhǎng)度，再證明△BCO為直角三角形，利用：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可證明OE=CE。
（2）①要證直線(xiàn)CD是⊙P的切線(xiàn)，需證明PC⊥CD，先證明△POE≌△PCE，得出∠POE＝∠PCE，再根據(jù)∠POE是直角，證明PC⊥CD即可得出結(jié)論；
②設(shè)⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理得到關(guān)于r的方程，求出r即可。