Question

如圖，P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形P₃，P₄，…，P_n，…，記紙板P_n的面積為S_n，試通過計算S₁，S₂，猜想得到S_n-1-S_n=

 

（n≥2）．

Answer 1

分析：由P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，得到S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²．同理可得S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，它們的差即可得到．

解答：解：根據(jù)題意得，n≥2．
S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，
S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²，
…
S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，
S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，
∴S_n-1-S_n=

1

2

π×（

1

2

）^2n-2=（

1

2

）^2n-1π．
故答案為（

1

2

）^2n-1π．

點評：本題考查了圓的面積公式：S=πR²．以及規(guī)律性題目的解題一般方法：從特殊到一般．