Question

如圖1，直線y=k₁x+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，12）； B（a，4）兩點(diǎn)．
（1）求k₁、k₂的值；
（2）結(jié)合圖形，直接寫出時(shí)，x的取值范圍；
（3）連接AO、BO，求△ABO的面積；
（4）如圖2，梯形OBCE中，BC∥OE，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，連接PB．當(dāng)梯形OBCE的面積為時(shí)，請(qǐng)判斷PB和OB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（1，12）在上，
∴k₂=12，
∵B（a，4）在上，
∴a=3，
∴B（3，4），
∵y=k₁x+b過A（1，12），B（3，4）
∴，
∴，
∴y=-4x+16，
綜上可得k₁的值為-4，k₂的值為12．

（2）x的取值范圍為：0＜x＜1或x＞3．

（3）直線y=-4x+16交坐標(biāo)軸于M、N，如圖1，
則M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，16），N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
∴S_△ABO=S_△AON-S_△BON=×4×12-×4×4=16．

（4）PB⊥OB．
理由：延長(zhǎng)CB交y軸于點(diǎn)H，如圖2，
∵四邊形OBCE為梯形，
∴BC∥OE，
而B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，4），
∵CE⊥x軸，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
∵P點(diǎn)在y=的圖象上，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
∵梯形OBCE的面積為，
∴（BC+OE）×CE=，即（a+a-3）×4=，
解得a=，
∴BH=3，PC=4-=，BC=-3=
∵=，=，∠BHO=∠PCB=90°，
∴△BOH∽△PBC，
∴∠HOB=∠CBP，
∴∠CBP+∠HBO=90°，
即PB⊥OB．
分析：（1）先把A（1，12）代入，求得k₂=12，再把B（a，4）代入y=可得a=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），然后把A（1，12）、B（3，4）代入y=k₁x+b得到關(guān)于k₁、b的方程組，解方程組得到得k₁．
（2）觀察圖象得到當(dāng)0＜x＜1或x＞3時(shí)，直線y=k₁x+b都在反比例函數(shù)y=的圖象下方，即k1x+b-＜0；
（3）直線y=-4x+16交坐標(biāo)軸于M、N，先求出M與N的坐標(biāo)，然后利用S_△ABO=S_△AON-S_△BON計(jì)算即可；
（4）延長(zhǎng)CB交y軸于點(diǎn)H，證△BOH∽△PBC，即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題及梯形的知識(shí)，難點(diǎn)最后一問，解題的關(guān)鍵是利用兩邊及其夾角法證明△BOH∽△PBC．