Question

已知：如圖1，直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于E、F兩點，∠BEF、∠DFE的平分線相交于點K．
（1）求∠EKF的度數(shù)．（計算過程不準用三角形內角和）
（2）如圖2，∠BEK、∠DFK的平分線相交于點K₁，問∠K₁與∠K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關系？寫出結論并證明．
（3）在圖2中作∠BEK₁、∠DFK₁的平分線相交于點K₂，作∠BEK₂、∠DFK₂的平分線相交于點K₃，依此類推，作∠BEK_n、∠DFK_n的平分線相交于點K_n+1，請用含的n式子表示∠K_n+1的度數(shù)．（直接寫出答案，不必寫解答過程）

Answer 1

分析：（1）過K作KG∥AB，可得KG∥CD，可得出兩對內錯角相等，由EK與FK分別為角平平分線，利用角平分線定義得到兩對角相等，再由AB與CD平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到兩對角互補，利用等式的性質求出∠BKE+∠DFK的度數(shù)，即可求出∠EKF的度數(shù)；
（2）∠K=2∠K₁，由∠BEK、∠DFK的平分線相交于點K₁，利用角平分線定義得到兩對角相等，等量代換求出∠K₁，進而確定出兩角的關系；
（3）依此類推即可確定出∠K_n+1的度數(shù)．

解答：
解：（1）過K作KG∥AB，可得KG∥CD，
∴∠BEK=∠EKG，∠GKF=∠KFD，
∵EK、FK分別為∠BEF與∠EFD的平分線，
∴∠BEK=∠FEK，∠EFK=∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°，即2（∠BEK+∠DFK）=180°，
∴∠BEK+∠DFK=90°，
則∠EKF=∠EKG+∠GKF=90°；
（2）∠K=2∠K₁，理由為：
∵∠BEK、∠DFK的平分線相交于點K₁，
∴∠BEK₁=∠KEK₁，∠KFK₁=∠DFK₁，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°，即2（∠BEK+∠KFD）=180°，
∴∠BEK+∠KFD=90°，即∠KEK₁+∠KFK₁=45°，
∴∠K₁=180°-（∠KEF+∠EFK）-（∠KEK₁+∠KFK₁）=45°，
則∠K=2∠K₁；
（3）歸納總結得：∠K_n+1=

1

2n+1

×90°．

點評：此題考查了平行線的性質，角平分線定義，屬于探究型試題，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵．