【題目】如圖,正方形ABCD頂點A,D在⊙O上,邊BC經(jīng)過⊙O上一定P,且PF平分∠AFC,邊 AB,CD分別與⊙O相交于點E,F(xiàn),連接EF.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若FC=2,求PC的長.
【答案】
(1)證明:連接OP,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC,
∵PF平分∠AFC,
∴∠AFP=∠PFC,
∵OP=OF,
∴∠AFP=∠OPF,
∴∠PFC=∠OPF,
∴OP∥CD,
∴∠BPO=∠C=90°,
∴OP⊥BC,
∴BC是⊙O的切線;
(2)解:連接AP,∵∠D=90°,∴AF是⊙O的直徑,
∴∠AEF=∠APF=90°,
∴∠BEF=∠B=∠C=90°,
∵OP∥CD,∴OP∥CD∥BA,
∴ ,
∴BP= BC= BA,
∵∠APB+∠FPC=90°,∠PFC+∠FPC=90°,
∴∠APB=∠PFC,
∵∠B=∠C=90°,
∴△APB∽△PFC,
∴ ,∴ ,
∴PC=2FC=4.
【解析】(1)連接OP,依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明∠OPF=∠OFP,然后結(jié)合角平分線的定義可得到∠OPF=∠PFC,接下來,可證明OP∥FC,最后,平行線的性質(zhì)可證明OP⊥BC;
(2)連接AP,首先證明△APB∽△PFC,然后再依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可.
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質(zhì),掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點A(t+1,t+2),點B(t+3,t+1),將點A向右平移3個長度單位,再向下平移4個長度單位得到點C.
(1)用t表示點C的坐標(biāo)為_______;用t表示點B到y軸的距離為___________;
(2)若t=1時,平移線段AB,使點A、B到坐標(biāo)軸上的點、處,指出平移的方向和距離,并求出點、的坐標(biāo);
(3)若t=0時,平移線段AB至MN(點A與點M對應(yīng)),使點M落在x軸的負(fù)半軸上,三角形MNB的面積為4,試求點M、N的坐標(biāo).
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【題目】如圖1,已知,是等邊三角形,點為射線上任意一點(點與點不重合),連結(jié),將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié)并延長交射線于點.
(1)如圖1,當(dāng)時,________,猜想________;
(2)如圖2,當(dāng)點為射線上任意一點時,猜想的度數(shù),并說明理由;
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D、E分別是AB、BC的中點,F在CA延長線上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,則四邊形AEDF的周長為( )
A. 16 B. 20 C. 18 D. 22
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【題目】閱讀第(1)題解答過程填理由,并解答第(2)題
(1)已知:如圖1,AB∥CD,P為AB,CD之間一點,求∠B+∠C+∠BPC的大。
解:過點P作PM∥AB
∵AB∥CD(已知)
∴PM∥CD ,
∴∠B+∠1=180°, .
∴∠C+∠2=180°
∵∠BPC=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠BPC=360°
(2)我們生活中經(jīng)常接觸小刀,如圖2小刀刀柄外形是一個直角梯形挖去一個小半圈,其中AF∥EG,∠AEG=90°,刀片上、下是平行的(AB∥CD),轉(zhuǎn)動刀片時會形成∠1和∠2,那么∠1+∠2的大小是否會隨刀片的轉(zhuǎn)動面改變,如不改變,求出其大;如改變,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,E是AD的中點,連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F.
(1)請連結(jié)AF、BD,試判斷四邊形ABDF是何種特殊四邊形,并說明理由.
(2)若AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF的面積.
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【題目】一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y= 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】(1)閱讀思考:
小迪在學(xué)習(xí)過程中,發(fā)現(xiàn)“數(shù)軸上兩點間的距離”可以用“表示這兩點數(shù)的差”來表示,探索過程如下:
如圖1所示,線段AB,BC,CD的長度可表示為:AB=3=4﹣1,BC=5=4﹣(﹣1),CD=3=(﹣1)﹣(﹣4),于是他歸納出這樣的結(jié)論:如果點A表示的數(shù)為a,點B表示的數(shù)為b,當(dāng)b>a時,AB=b﹣a(較大數(shù)﹣較小數(shù)).
(2)嘗試應(yīng)用:
①如圖2所示,計算:OE= ,EF= ;
②把一條數(shù)軸在數(shù)m處對折,使表示﹣19和2019兩數(shù)的點恰好互相重合,則m= ;
(3)問題解決:
①如圖3所示,點P表示數(shù)x,點M表示數(shù)﹣2,點N表示數(shù)2x+8,且MN=4PM,求出點P和點N分別表示的數(shù);
②在上述①的條件下,是否存在點Q,使PQ+QN=3QM?若存在,請直接寫出點Q所表示的數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南沙群島是我國固有領(lǐng)土,現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè),當(dāng)漁船航行至B處時,測得該島位于正北方向20(1+ )海里的C處,為了防止某國海巡警干擾,就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護航,已知C位于A處的北偏東45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之間的距離.
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