Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于點A，B（A在B的左側）．

（1）拋物線的對稱軸為直線x=-3，AB=4．求拋物線的表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經過點O，且與x正半軸交于點C，記平移后的拋物線頂點為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點P的坐標；

（3）當m=4時，拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，試判斷y1與y2的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-6x-5．（2）點P的坐標（1，1）．（3）y1＞y2．

【解析】

（1）先根據拋物線和x軸的交點及線段的長，求出拋物線的解析式；

（2）根據平移后拋物線的特點設出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質求出拋物線解析式；

（3）根據拋物線的解析式判斷出點M，N的大概位置，再關鍵點M，N的橫坐標的范圍即可得出結論．

（1）拋物線y=-x2+mx+n的對稱軸為直線x=-3，AB=4．

∴點A（-5，0），點B（-1，0）．

∴拋物線的表達式為y=-（x+5）（x+1）

∴y=-x2-6x-5．

（2）如圖1，

依題意，設平移后的拋物線表達式為：y=-x2+bx．

∴拋物線的對稱軸為直線x＝，拋物線與x正半軸交于點C（b，0）．

∴b＞0．

記平移后的拋物線頂點為P，

∴點P的坐標（，），

∵△OCP是等腰直角三角形，

∴=

∴b=2．

∴點P的坐標（1，1）．

（3）如圖2，

當m=4時，拋物線表達式為：y=-x2+4x+n．

∴拋物線的對稱軸為直線x=2．

∵點M（x1，y1）和N（x2，y2）在拋物線上，

且x1＜2，x2＞2，

∴點M在直線x=2的左側，點N在直線x=2的右側．

∵x1+x2＞4，

∴2-x1＜x2-2，

∴點M到直線x=2的距離比點N到直線x=2的距離近，

∴y1＞y2．