Question

一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC=4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有以下結(jié)論：
①M(fèi)F=NF；
②四邊形CMFN的面積保持不變；
③MN長(zhǎng)度的最小值為2；
④以AM、BN、MN的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形，
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)CF，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CF=BF，CF平分∠ACB，CF⊥AB，∠B=45°，則∠ACF=45°，∠2+∠3=45°，利用等角的余角相等可得∠1=∠3，則可根據(jù)“ASA”判斷△CFM≌△BFN，則MF=NF；由△CFM≌△BFN得到S_△CFM=S_△BFN，所以S_{四邊形CMFN}=S_△BFC=

1

2

S_△ACB=4；易得△MFN為等腰直角三角形，則MN=

2

FM，當(dāng)FM⊥AC時(shí)，根據(jù)垂相等最短得到FM最小，此時(shí)MN最小，利用△ACF為等腰直角三角形，即可得到當(dāng)FM⊥AC時(shí)，F(xiàn)M=

1

2

AC=2，于是得到MN長(zhǎng)度的最小值為2

2

；由△CFM≌△BFN得到CM=BN，同理可證明△CFN≌△AFM得到CN=AM，利用CN²+CM²=MN²得到AM²+BN²=MN²，于是根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷以AM、BN、MN的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形，所以④正確．

解答：解：連結(jié)CF，如圖，
∵點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，
∴CF=BF，CF平分∠ACB，CF⊥AB，∠B=45°，
∴∠ACF=45°，∠2+∠3=45°
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△CFM和△BFN中，

∠MCF=∠B CF=BF ∠1=∠3

，
∴△CFM≌△BFN（ASA），
∴MF=NF，所以①正確；
∵△CFM≌△BFN，
∴S_△CFM=S_△BFN，
∴S_{四邊形CMFN}=S_△BFC=

1

2

S_△ACB=

1

2

×

1

2

×4×4=4，所以②正確；
∵M(jìn)F=NF，∠MFN=90°，
∴△MFN為等腰直角三角形，
∴MN=

2

FM，
當(dāng)FM⊥AC時(shí)，F(xiàn)M最小，此時(shí)MN最小，
∵△ACF為等腰直角三角形，
∴當(dāng)FM⊥AC時(shí)，F(xiàn)M=

1

2

AC=2，
∴MN長(zhǎng)度的最小值為2

2

，所以③錯(cuò)誤；
∵△CFM≌△BFN，
∴CM=BN，
同理可證明△CFN≌△AFM，
∴CN=AM，
在Rt△CMN中，CN²+CM²=MN²，
∴AM²+BN²=MN²，
∴以AM、BN、MN的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形，所以④正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；第④個(gè)結(jié)論需要運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．