Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-

4

3

x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B在Y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)A′，且OA′=OA，直線A′B′⊥l交x軸于點(diǎn)B′
（1）求直線A′B′的解析式；
（2）若直線A′B′與直線l相交于點(diǎn)C，求△A′BC的面積？
（3）在直線A′B′上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△A′BP與△A′BC的面積相等？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線l可求得A、B坐標(biāo)，則可知A′坐標(biāo)，又可求得tan∠OBA=tan∠OB′A′，可求得OB′，可求得B′坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線A′B′解析式；
（2）結(jié)合（1），聯(lián)立兩直線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，且容易求得A′B，可求得△A′BC的面積；
（3）由條件可知P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離和C點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，代入直線A′B′可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）在y=-

4

3

x+4中，令y=0可得x=3，令x=0可得y=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴OA′=OA=3，
∴A′坐標(biāo)為（0，-3），
∵A′B′⊥l，
∴∠OBA=∠A′B′O，
∴tan∠OBA=tan∠A′B′O，
∴

OA

OB

=

OA′

OB′

，即

3

4

=

3

OB′

，解得OB′=4，
∴B′坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線A′B′解析式為y=kx+b，
把A′、B′兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得

4k+b=0 b=-3

，解得

k= 3 4 b=-3

，
∴直線A′B′解析式為y=

3

4

x-3；
（2）聯(lián)立兩直線解析式可得

y=- 4 3 x+4 y= 3 4 x-3

，解得

x= 84 25 y=- 12 25

，
∴C點(diǎn)到A′B的距離為

84

25

，
又∵A′（0，-3），B（0，4），
∴A′B=7，
∴S_△A′BC=

1

2

×7×

84

25

=

294

25

；
（3）∵S_△A′BP=S_△A′BC，
∴P到y(tǒng)軸的距離為

84

25

，
∵P異于C點(diǎn)，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

84

25

，
又∵P在直線A′B′，代入解析式可得y=

3

4

×（-

84

25

）-3=-

138

25

，
∴在直線A′B′上是存在點(diǎn)P，使得△A′BP與△A′BC的面積相等，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

84

25

，-

138

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及直線的交點(diǎn)、三角形的面積等知識(shí)的綜合應(yīng)用．在（1）中求得B′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵，在（3）中得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題難度不大，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的小綜合，容易得分．