【題目】如圖,二次函數(shù)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)C,與x軸的交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D(0,3).

(1)求這個(gè)拋物線的解析式;

(2)如圖,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣2,若直線PQ為拋物線的對稱軸,點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn),則x軸上是否存在一點(diǎn)H,使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最?若存在,求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)如圖,連接ACy軸于M,在x軸上是否存在點(diǎn)P,使以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】

1 設(shè)所求拋物線的解析式為:,A(1,0)、B(-3,0)、 D0,3)代入,得…………………………………………2

即所求拋物線的解析式為:……………………………3

2 如圖,在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I,使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱,

x軸上取一點(diǎn)H,連接HFHI、HG、GDGE,則HFHI…………………①

設(shè)過AE兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:ykxbk≠0),

點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2,將x-2,代入拋物線,得

點(diǎn)E坐標(biāo)為(-23………………………………………………………………4

拋物線圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(1,0)、B(-3,0)

D0,3),所以頂點(diǎn)C-1,4

拋物線的對稱軸直線PQ為:直線x-1, [中國教#&~@育出%版網(wǎng)]

點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱,GDGE……………………………………………②

分別將點(diǎn)A1,0)、點(diǎn)E-2,3

代入ykxb,得:

解得:

A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:

y-x1

當(dāng)x0時(shí),y1

點(diǎn)F坐標(biāo)為(01……………………5

=2………………………………………③

點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱,

點(diǎn)I坐標(biāo)為(0,-1

……………………………………④

要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個(gè)定值,

只要使DGGHHI最小即可 ……………………………………6

由圖形的對稱性和、、,可知,

DGGHHFEGGHHI

只有當(dāng)EI為一條直線時(shí),EGGHHI最小

設(shè)過E-2,3)、I0-1)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為:,

分別將點(diǎn)E-2,3)、點(diǎn)I0,-1)代入,得:

解得:

I、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:y-2x-1

當(dāng)x-1時(shí),y1;當(dāng)y0時(shí),x-;

點(diǎn)G坐標(biāo)為(-1,1),點(diǎn)H坐標(biāo)為(-,0

四邊形DFHG的周長最小為:DFDGGHHFDFEI

,可知:

DFEI

四邊形DFHG的周長最小為. …………………………………………7

3 如圖

(2)可知,點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C-1,4),設(shè)過A(1,0),點(diǎn)C-1,4)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為:,得:

解得:,

A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為:y-2x+2,當(dāng)x0時(shí),y2,即M的坐標(biāo)為(0,2);

由圖可知,△AOM為直角三角形,且, ………………8

要使,△AOM△PCM相似,只要使△PCM為直角三角形,且兩直角邊之比為1:2即可,設(shè)P(,0),CM=,且∠CPM不可能為90°時(shí),因此可分兩種情況討論; ……………………………………………………………………………9

當(dāng)∠CMP=90°時(shí),CM=,若,可求的P-4,0),則CP=5,,即P-4,0)成立,若由圖可判斷不成立;……………………………………………………………………………………10

當(dāng)∠PCM=90°時(shí),CM=,若,可求出

P-3,0),則PM=,顯然不成立,若,更不可能成立.……11

綜上所述,存在以PC、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,012

【解析】

(1)直接利用三點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式;

2)若四邊形DFHG的周長最小,應(yīng)將邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)換,利用對稱性,要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個(gè)定值,只要使DGGHHI最小即可,

由圖形的對稱性和,可知,HFHI,GDGE

DGGHHFEGGHHI

只有當(dāng)EI為一條直線時(shí),EGGHHI最小,即

,DFEI

即邊形DFHG的周長最小為.

3)要使△AOM△PCM相似,只要使△PCM為直角三角形,且兩直角邊之比為1:2即可,設(shè)P(,0),CM=,且∠CPM不可能為90°時(shí),因此可分兩種情況討論,當(dāng)∠CMP=90°時(shí),CM=,若,可求的P-4,0),則CP=5,,即P-4,0)成立,若由圖可判斷不成立;當(dāng)∠PCM=90°時(shí),CM=,若,可求出P-3,0),則PM=,顯然不成立,若,更不可能成立. 即求出以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似的P的坐標(biāo)(-4,0

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了了解學(xué)生關(guān)注熱點(diǎn)新聞的情況,“兩會(huì)”期間,小明對班級同學(xué)一周內(nèi)收看“兩會(huì)”新聞的次數(shù)情況作了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示(其中男生收看次的人數(shù)沒有標(biāo)出).

根據(jù)上述信息,解答下列各題:

×

(1)該班級女生人數(shù)是__________,女生收看“兩會(huì)”新聞次數(shù)的中位數(shù)是________;

(2)對于某個(gè)群體,我們把一周內(nèi)收看某熱點(diǎn)新聞次數(shù)不低于次的人數(shù)占其所在群體總?cè)藬?shù)的百分比叫做該群體對某熱點(diǎn)新聞的“關(guān)注指數(shù)”.如果該班級男生對“兩會(huì)”新聞的“關(guān)注指數(shù)”比女生低,試求該班級男生人數(shù);

(3)為進(jìn)一步分析該班級男、女生收看“兩會(huì)”新聞次數(shù)的特點(diǎn),小明給出了男生的部分統(tǒng)計(jì)量(如表).

統(tǒng)計(jì)量

平均數(shù)(次)

中位數(shù)(次)

眾數(shù)(次)

方差

該班級男生

根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識,適當(dāng)計(jì)算女生的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)而比較該班級男、女生收看“兩會(huì)”新聞次數(shù)的波動(dòng)大小.

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【題目】如圖,在等邊ABC中,線段AMBC邊上的中線.動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),以CD為一邊在CD的下方作等邊CDE,連結(jié)BE

(1)求∠CAM的度數(shù);

(2)若點(diǎn)D在線段AM上時(shí),求證:ADCBEC;

(3)當(dāng)動(dòng)D直線AM上時(shí),設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O,試判斷AOB是否為定值?并說明理由.

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【題目】已知:如圖,CDBE,DGBC于點(diǎn) G,EFBC于點(diǎn) F,且 DG=EF.

1)求證:DGC≌△EFB.

2)連結(jié) BD,CE. 求證:BD=CE

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,∠B=∠D.

(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=AB,點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止,則從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過多少時(shí)間,△BEP為等腰三角形?

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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣1<x1<0.1<x2<2.下列結(jié)論:4a+2b+c<0;2a+b<0;b2+8a>4ac;

a<﹣1;其中結(jié)論正確的有( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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【題目】小明周末要乘坐公交車到植物園游玩,從地圖上查找路線發(fā)現(xiàn),幾條線路都需要換乘一次.在出發(fā)站點(diǎn)可選擇空調(diào)車A、空調(diào)車B、普通車a,換乘站點(diǎn)可選擇空調(diào)車C,普通車b、普通車c,且均在同一站點(diǎn)換乘.空調(diào)車投幣2元,普通車投幣1元.

(1)求小明在出發(fā)站點(diǎn)乘坐空調(diào)車的概率;

(2)求小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)3元公交費(fèi)的概率.

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【題目】如圖,P是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn),EAD的中點(diǎn).AB=6,AD=8,則四邊形ABPE的周長為( 

A. 14 B. 16 C. 17 D. 18

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