Question

已知，直線y=-

3

x+

3

與x軸，y軸分別交于點A，B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且點P（1，a）為坐標系中的一個動點．
（1）則三角形ABC的面積S_△ABC=

 

；點C的坐標為

 

；
（2）證明不論a取任何實數(shù)，△BOP的面積是一個常數(shù)；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出A、B兩點的坐標，利用勾股定理得到AB的長，等腰Rt△ABC的面積為AB平方的一半；
（2）三角形BOP的底邊BO=

3

，BO邊上的高為P點的橫坐標1，所以它的面積是一個常數(shù)

3

2

；
（3）實際上給定△ABP的面積，求P點坐標．利用面積和差求△ABP的面積，注意要分類討論．

解答：解：（1）令y=-

3

x+

3

中x=0，得點B坐標為（0，

3

）；
令y=0，得點A坐標為（1，0）．
由勾股定理可得AB=

12+( 3 )2

=2，
所以S_△ABC=

1

2

AB2=

1

2

×4=2；
作CD⊥x軸于點D，
∴△BAO≌△ACD，
∴DA=BO=

3

，CD=AO=1，
∴點C的坐標為（1+

3

，1）；

（2）不論a取任何實數(shù)，△BOP都可以以BO=

3

為底，點P到y(tǒng)軸的距離1為高，
∴S_△BOP=

3

2

為常數(shù)；

（3）當點P在第四象限時，
∵S_△ABO=

3

2

，S_△APO=-

1

2

a∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即

3

2

-

1

2

a-

3

2

=2解得a=-4，
（或S△ABP=-

a

2

即-

a

2

=2解得a=-4）
當點P在第一象限時，同理可得a=4
綜上，a=±4

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識，掌握一次函數(shù)的性質，會求一次函數(shù)與兩坐標軸的交點坐標；會用坐標表示線段；掌握用面積的和差表示不規(guī)則圖形的面積．