Question

19．已知正方形ABCD，△BEF是等腰直角三角形（BE=EF），聯(lián)結(jié)FD，在FD上取中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EC和CG，求證：
（1）EG=CG；
（2）EG⊥CG．

Answer 1

分析 （1）連接BD取BD中點(diǎn)O，取BF中點(diǎn)Q，連接OG、EQ、GQ、OC．只要證明△EQG≌△GOC即可．
（2）QG與OC交于點(diǎn)O′，先證明∠GO′C=90°，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答 證明：（1）連接BD取BD中點(diǎn)O，取BF中點(diǎn)Q，連接OG、EQ、GQ、OC．
∵DO=OB，DG=GF，
∴OG=$\frac{1}{2}$BF，OG∥BF，
∵DG=GF，F(xiàn)Q=QF，
∴GQ∥BD，GQ=$\frac{1}{2}$BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$BD=QG，OC⊥BD，
∴∠GOC=90°-∠OGQ，
∵BE=EF，∠BEF=90°，
∴EQ⊥BF，∠EQF=90°，
∴∠EQG=90°-∠GQF，
∵∠OGQ=∠GQF，
∴∠GOC=∠EQG，
在△EQG和△GOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EQ=OG}\\{∠EQG=∠GOC}\\{GQ=OC}\end{array}\right.$，
∴△EQG≌△GOC，
∴GC=EQ．
（2）QG與OC交于點(diǎn)O′．
∵△EQG≌△GOC，
∴∠EGQ=∠GCO，
∵OC⊥BD，QG∥BD，
∴OC⊥QG，∠GO′C=90°
∴∠OCG+∠QGC=90°，
∴∠EGQ+∠QGC=90°
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥GC．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用三角形中位線添加輔助線，掌握證明垂直的方法，屬于中考�？碱}型．