【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,過點A0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點,且BC兩點的縱坐標分別是一元二次方程x22x3=0的兩個根

1)求線段BC的長度;

2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由;

3)若點D在直線AC上,且DB=DC,求點D的坐標;

4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)4;(2)AC⊥AB;(3)(﹣2,1);(4)點P的坐標為(﹣3,0),(﹣,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).

【解析】試題分析:

1)解出方程后,即可求出B、C兩點的坐標,即可求出BC的長度;

2)由AB、C三點坐標可知OA2=OCOB,所以可證明△AOC∽△BOA,利用對應角相等即可求出∠CAB=90°

3)容易求得直線AC的解析式,由DB=DC可知,點DBC的垂直平分線上,所以D的縱坐標為1,將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標;

4A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形,可分為以下三種情況:①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP;然后分別求出P的坐標即可.

試題解析:

1∵x2﹣2x﹣3=0,

∴x=3x=﹣1,

∴B03),C0﹣1),

∴BC=4,

2∵A,0),B0,3),C0,﹣1),

∴OA=OB=3,OC=1

∴OA2=OBOC,

∵∠AOC=∠BOA=90°

∴△AOC∽△BOA,

∴∠CAO=∠ABO,

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°

∴∠BAC=90°,

∴AC⊥AB;

3)設直線AC的解析式為y=kx+b,

A0)和C0,﹣1)代入y=kx+b,

,

解得:,

直線AC的解析式為:y=﹣x﹣1,

∵DB=DC

D在線段BC的垂直平分線上,

∴D的縱坐標為1,

y=1代入y=﹣x﹣1

∴x=﹣2, ∴D的坐標為(﹣2,1),

4)設直線BD的解析式為:y=mx+n,直線BDx軸交于點E,

B0,3)和D﹣21)代入y=mx+n,

解得

直線BD的解析式為:y=x+3,

y=0代入y=x+3,

∴x=﹣3, ∴E﹣3,0),

∴OE=3

∴tan∠BEC==, ∴∠BEO=30°

同理可求得:∠ABO=30°,

∴∠ABE=30°

PA=AB時,如圖1,

此時,∠BEA=∠ABE=30°

∴EA=AB,

∴PE重合,

∴P的坐標為(﹣3,0),

PA=PB時,如圖2

此時,∠PAB=∠PBA=30°,

∵∠ABE=∠ABO=30°,

∴∠PAB=∠ABO,

∴PA∥BC

∴∠PAO=90°,

P的橫坐標為﹣

x=﹣代入y=x+3,

∴y=2, ∴P,2),

PB=AB時,如圖3,

由勾股定理可求得:AB=2,EB=6,

若點Py軸左側時,記此時點PP1

過點P1P1F⊥x軸于點F,

∴P1B=AB=2

∴EP1=6﹣2,

∴sin∠BEO=

∴FP1=3﹣,

y=3﹣代入y=x+3

∴x=﹣3∴P1﹣3,3﹣),/p>

若點Py軸的右側時,記此時點PP2,

過點P2P2G⊥x軸于點G,

∴P2B=AB=2

∴EP2=6+2,

∴sin∠BEO=,

∴GP2=3+,

y=3+代入y=x+3,

∴x=3, ∴P233+),

綜上所述,當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時,點P的坐標為(﹣3,0),(,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).

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