Question

6．如圖，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A．
（1）求證：AD•BC=AP•BP；
（2）設(shè)點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B，由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠ADP=∠BPC，得出△APD∽△BCP，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果；
（2）由（1）得AD：BP=AP：BC，得出BC=$\frac{t（6-t）}{5}$，因此DC=BD-BC=5-$\frac{t（6-t）}{5}$，作DM⊥AB于M，由等腰三角形的性質(zhì)得出AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=3，由勾股定理得出DM=4，當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，DC=4，即5-$\frac{t（6-t）}{5}$=4，求出t的值即可．

解答 （1）證明：∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△APD∽△BCP，
∴AD：BP=AP：BC，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）解：由（1）得：AD：BP=AP：BC，
即$\frac{5}{6-t}=\frac{t}{BC}$，
∴BC=$\frac{t（6-t）}{5}$，
∴DC=BD-BC=5-$\frac{t（6-t）}{5}$，
作DM⊥AB于M，如圖所示：
則AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=3，
DM=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，DC=4，
∴5-$\frac{t（6-t）}{5}$=4，
解得：t=1或t=5，
即當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，t的值為1或5．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線由切線的性質(zhì)得出方程才能得出結(jié)果．