Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，E．F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，

（1）求證：CF＝AE；

（2）若BE＝8，CF＝6，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10.

【解析】

（1）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，然后利用同角的余角相等可證：∠EDA＝∠CDF，然后利用ASA即可證出：△AED≌△CFD，從而證出CF＝AE；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：CF＝AE＝6，從而求出AB、AC和AF，然后根據(jù)勾股定理即可求出線段EF的長.

解：（1）連接AD，

∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊的中線，

∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，

又∵DE⊥DF，AD⊥DC，

∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，

∴∠EDA＝∠CDF

在△AED與△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA）．

∴CF＝AE；

（2）∵△AED≌△CFD

∴CF＝AE＝6，

∴AB＝AE+BE＝14＝AC，

∴AF＝AC﹣CF＝8，

∴EF＝＝＝10．