Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l，交拋物線于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BD的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時，直線l交BD于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使得四邊形CQMD是平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，

∴D（0，﹣2），

∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx﹣2，

把B（4，0）代入可得4k﹣2=0，解得k= ，

∴直線BD的解析式為y= x﹣2

（3）

解：如圖所示，

設(shè)Q（m，﹣ m2+ m+2），則M（m， m﹣2），

∴QM=﹣ m2+ m+2﹣（ m﹣2）=﹣ m2+m+4，

∵QM∥CD，

∴當(dāng)QM=CD時，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴﹣ m2+m+4=4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=2，

∴當(dāng)m=2時，四邊形CQMD是平行四邊形

【解析】（1）由A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）由對稱性可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式；（3）用m可表示出M、Q的坐標(biāo)，則可表示出QM的長，由平行四邊形的性質(zhì)可知QM∥CD且QM=CD，則可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．