Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），頂點坐標為（1，n），則下列結論：

①4a+2b＜0；

②﹣1≤a≤；

③對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；

④關于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根．

其中結論正確的個數(shù)為（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由拋物線的頂點橫坐標可得出b=-2a，進而可得出4a+2b=0，結論①錯誤；
②利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征結合b=-2a可得出a=-，再結合拋物線與y軸交點的位置即可得出-1≤a≤-，結論②正確；
③由拋物線的頂點坐標及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，進而可得出對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立，結論③正確；
④由拋物線的頂點坐標可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個交點，將直線下移可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點，進而可得出關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根，結合④正確．

：①∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，n），
∴-=1，
∴b=-2a，
∴4a+2b=0，結論①錯誤；

②∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-．
又∵拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-，結論②正確；
③∵a＜0，頂點坐標為（1，n），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立，結論③正確；
④∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，n），
∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個交點，
又∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點，
∴關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根，結合④正確．
故選：C．