【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=7cm,AD=4cm,點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn),F(xiàn)為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DF=acm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)停止,連結(jié)PE,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,△PAE的面積為ycm2,當(dāng)0≤t≤1時(shí),△PAE的面積y(cm2)關(guān)于時(shí)間t(s)的函數(shù)圖象如圖2所示,連結(jié)PF,交CD于點(diǎn)H.

(1)t的取值范圍為 ,AE cm;

(2)如圖3,將△HDF沿線段DF進(jìn)行翻折,與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連結(jié)AM,當(dāng)a為何值時(shí),四邊形PAMH為菱形?

3)在(2)的條件下求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t.

【答案】(1)0≤t≤3.5,AE=1;

(2)a=4;

(3)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為=秒.

【解析】證明:(1)∵AB=7,7÷2=3.5,

∴0≤t≤3.5,由題意可知y=×2t×AE,

∴由圖象可知t=0.5時(shí),y=0.5,

∴0.5=×2×0.5×AE,

∴AE=1,

故答案分別為0≤t≤3.5,AE=1.

(2)如圖3中,∵四邊形AMHP是菱形,

∴AM=MH=2DM,AM∥PF,

∵∠ADM=90,∴∠MAD=30,

∴∠PFA=MFA=∠MAD=30,∴MA=MF,∵M(jìn)D⊥AF,

∴AD=DF=4,∴a=4.

(3)∴當(dāng)a=4cm時(shí),此時(shí)FA=8cm,令PA=x,則PF=2x,根據(jù)勾股定理可得,PF2=PA2+AF2,

則(2x)2= x2+82,

解得x= ,

P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為÷2=.

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